Black-Scholes 模型学习框架

又是数学学到头秃的一天。。。

此篇文章主要详细讲解推导 Black-Scholes 定价公式的两种不同方法（Non-arbitrage Pricing和 Risk-neutral Pricing），以及详细讲解推导过程中所用到的假设、定义和定理。

一篇文章帮大家解脱 BS 模型的折磨，少脱点发...

众所周知，推导BS定价公式有两种不同的方法 ，即：

1. 构建含衍生品的资产组合，利用无套利原理，得到 BS 偏微分方程;
2. 进行等价鞅测度的变换，利用鞅性质，得到风险中性下的定价公式。

资产定价基本定理说明了以上这两种方法是等价的；而联系这两种方法结果的，就是著名的 Feynman-Kac 定理！

怎么利用无套利原理？怎么进行测度变换？什么是 Feynman-Kac 定理？嗯，看完本文你都会懂。

推导一个数学公式，最重要的是弄清楚什么是我们现在已知的。通常，我们已知的东西就是三样：模型的假设、各种定义、已知的定理，因此弄清楚 BS 模型的假设非常有必要。

BS 模型对市场的假设有：

• 两种资产：债券（无风险资产）、股票（风险资产）；
• No Arbitrage，市场是无套利的，一旦出现套利机会价格就会被修正；
• 可以以任意数量做多或做空资产，即可以无限细分资产，可以做空股票，可以借钱；
• Frictionless，不存在交易摩擦。

BS 模型对两种资产价格的假设有：

• 股票无分红 (No Dividend)，股价 S_t 服从参数为常数的几何布朗运动（GBM, Geometric Brownian Motion），即服从随机微分方程（SDE, Stochastic Differential Equation）：

dS_t =\mu S_t dt+\sigma S_t dW_t

• 利率为常数，债券 B_t 收益为连续复利：

B_t=B_0e^{rt},\quad dB_t=rB_tdt,\quad B_0=1

当然，你可以考虑利率为时间的函数或者考虑随机利率模型。

同样，你也可以考虑股价服从参数不为常数的 GBM，例如将波动率 \sigma 考虑为时间和股价的函数 \sigma(t,S_t) 的 local volatility model 或者是服从某 SDE 的 stochastic volatility model。也可以考虑存在分红的股票，但基本思想与此模型的差异不大，这里不做深究。

记住以上假设，特别是 dS_t 和 dB_t 的公式，后面我们会经常用到。

0. 概述

这种定价方法主要有两种途径，

1. Replicating Portfolio：利用资产组合去复制（Replicating）衍生品的 Payoff 来进行对冲；
2. Delta-hedging：用衍生品和其标的资产（这里即股票），构建无风险的资产组合；

需要特别注意的是，不同的教材用的途径不一样...，我一开始学的时候也被弄昏了...，例如 Shreve 的 Stochastic Calculus for Finance 使用的是第一种，Tomas Bjork 的 Arbitrage Theory in Continuous Time 用的是第二种。当然，本质上这两种方法是相同的，即利用了无套利原理进行定价。

1. 无套利原理

什么是无套利原理呢？首先，我们想象 3 种持续 T 年的合约：

1. 合约 A 在 T 年后给你 1 个苹果；
2. 合约 B 在 T 年后给你 1 个梨子；
3. 合约 C 在 T 年后给你 1 个苹果 + 1 个梨子。

请问这 3 种合约的价格有什么关系？嗯，当然是

V(A)+V(B)=V(C)

那什么时候存在套利呢？考虑 V(A)+V(B)>V(C) 的情况。

假设我们初始资金为 0，我们可以卖出（做空）一份合约 A 和一份合约 B 得到 V(A)+V(B)，同时花 V(C) 买入（做多）一份合约 C。此时，我手里的钱有 V(A)+V(B)-V(C)>0 ，而到期时（ T 年后）我正好可以用合约 C 给我的苹果和梨子去还给合约 A 和合约 B。

我们发现我们用 0 初始资金，每进行一单位这样的交易，就可以白赚 V(A)+V(B)-V(C)>0 的钱！这简直就是空手套白狼， 这样的好事谁能忍心放弃？无套利原理告诉我们，市场上每个人都会抓住这种套利机会进行“空手套白狼”，因此最终价格会稳定于 V(A)+V(B)=V(C) 。

其实，我们发现合约 A 和合约 B 在到期时的收益（Payoff）正好与合约 C 相同，这时我们就称 A 和 B 的资产组合 Replicates 了 C 的 Payoff。

注意，以上分析是对合约期内任何时间都成立，即有

\forall t\in[0,T],\quad V_t(A)+V_t(B)=V_t(C)

这时，我们就可以得到无套利原理的数学表达：

定理 (无套利). 若在 [0,T] 内市场无套利，对市场内的两种投资组合 \Phi_1 和 \Phi_2 如果 V_T(\Phi_1)=V_T(\Phi_2) ，则有： V_t(\Phi_1)=V_t(\Phi_2), \forall t\in[0,T] .

即，若两个资产组合的期末价值相同，则在到期前的任何时刻，他们的价值都应该相同。

那如何保证 V_t(\Phi_1)=V_t(\Phi_2) 这样的等式对 t 都成立？方法就是令他们的值和微分始终相同，即 V_t(\Phi_1)=V_t(\Phi_2),dV_t(\Phi_1)=dV_t(\Phi_2)。

2. Replicating Portfolio

既然有以上的无套利原理，我们很自然的想到一个想法：如果一个资产组合可以完全复制衍生品到期时的收益，那么该衍生品的价格就应该等于该组合的价格，而该组合此时的价格是完全已知的（此时市场的股价和债券价格已知为 S_0 和 B_0 ），那么我们不就知道了衍生品的价格么... 事实上正是如此。

假设某标的资产是股票的衍生品，在到期时的 Payoff 与到期时的股价 S_T 有关，设 Payoff 为 V(S_T,T) 。假如是欧式看涨期权，则 V(S_T,T)=(S_T-K)^+。

同时设一自融资的（Self-financing）资产组合 \Pi_t 由 \gamma_t 的债券和 \Delta_t 的股票组成，则 \Pi_t=\gamma_tB_t+\Delta _tS_t 。

这里涉及到一个定义叫做自融资资产组合，什么是自融资？Finance 的英文本意是“资金支持”，那么 Self-financing 的意思就是，这个组合的资金自给自足嘛，即这个资产组合在整个过程中，我们不再添加资金或取出资金。这样的自融资资产组合，有数学上的定义：

定义 (自融资). 资产组合 \Pi_t=\sum_{i=1}^{n}{w_iS_{i,t}} 是自融资的，如果有 d\Pi_t=\sum_{i=1}^{n}{w_idS_{i,t}} .

根据这个定义，我们立马可以知道： d\Pi_t=\gamma_tdB_t+\Delta _tdS_t ，再回想一下假设中对债券价格的假设 dB_t=rB_tdt ，则

d\Pi_t=r\gamma_tB_tdt+\Delta _tdS_t

我们再来看衍生品的 t 时刻的价值 V(S_t,t) ，他的微分 dV(S_t,t) 怎么求？这里我们需要用到随机分析里的“牛莱公式”—— 伊藤-德布林公式。

定理 (Ito-Doeblin). 设函数 f(t,x) 的偏导数 f_t(t,x),f_x(t,x),f_{xx}(t,x) 都有定义并且连续，X(t)是适应的伊藤过程，则对于每个 T\ge0，都有：df(t,X_t)=f_t(t,X_t)dt+f_x(t,X_t)dX_t+\frac{1}{2}f_{xx}(t,X_t)d[X_t,X_t ].

（其中 [X_t,X_t] 是二次变差，至于他的定义和计算可以看我之前的文章）这步就是套公式嘛，很简单，用以上的公式，我们可以套出：

\begin{align} dV_t&=V'_tdt+V'_xdS_t+\frac{1}{2}V''_{xx}d[S_t,S_t] \\&=\left( V'_t+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2 V''_{xx} \right)dt + V'_xdS_t \end{align}

好的，这里只差最后一步了，利用我们无套利原理得出的V_t(\Phi_1)=V_t(\Phi_2),dV_t(\Phi_1)=dV_t(\Phi_2)，我们令 \Pi_t=V_t,d\Pi_t=dV_t ，并让他们微分的 dt 和 dS_t 的部分分别相等，可以得到

\left\{ \begin{aligned} &V'_x=\Delta_t&\quad(dS_t)\\ &V'_t+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2 V''_{xx} =r\gamma_tB_t&\quad(dt)\\ \end{aligned} \right.

把第二行的 \gamma_tB_t 替换为 V_t-V'_xS_t 可以得到：

\left\{ \begin{aligned} &V'_x=\Delta_t&\quad(1)\\ &V'_t+rS_tV'_x+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2 V''_{xx} -rV_t=0&\quad(2)\\ \end{aligned} \right.

可以看到式 (1) 就是 Delta 对冲法则，式 (2) 就是著名的 Black-Scholes 偏微分方程。

易证明，当衍生品是欧式看涨期权时，即该方程有抛物边界条件，其中终值条件（Terminal Condition）为 V(S_T,T)=(S_T-K)^+，它的解即为 BS 公式：

V(S_t,t)=SN(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2)

\begin{align} d_1&=\frac{\ln(\frac{S_t}{K})+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \\ d_2&=d_1-\sigma \sqrt{T-t} \end{align}

这里 N(d)=\int_{-\infty}^{d}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx} 为标准正态分布的累计概率。

这里有一点我们需要特别注意，我们发现，股价服从的 SDE 中的 \mu（漂移率，Drift）对 V(S_t,t) 没有任何影响，而 \sigma（波动率，Volatility）和无风险利率 r 会对 V(S_t,t) 产生影响。这似乎暗示着我们，股价是上涨还是下跌，都不影响衍生品的定价， \mu doesn't matters！似乎有“风险中性”那味儿了...

3. Delta-hedging

我们现在考虑用衍生品 V(S_t,t) 和其标的资产 S_t 构建一个“无风险组合”，为什么“无风险”要打引号呢？因为这里的“无风险”，特指“随着股价变动而衍生品价格发生变动”的风险，即我们要构建一个组合，该组合的价值不会因为 S_t 变化而变化。

考虑这样的自融资组合 \Pi_t=\Delta_tS_t-V_t ，即每一单位的空头衍生品，我们用 \Delta_t 单位多头的股票对其进行对冲（Hedging），由于其自融资的特性，根据定义，我们有 d\Pi_t=\Delta_tdS_t-dV_t ，将股价的 SDE 和 上一节中通过伊藤-德布林公式求出的 dV_t 带入这个式子，我们可以得到：

d\Pi_t=\left[ (\Delta_t-V'_x)\mu S_t-V'_t-\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2V''_{xx} \right]dt+(\Delta_t-V'_x)\sigma S_tdW_t

到这里，我们还有一个条件没有用，那就是该组合是无风险的，怎么样才能保证该组合是无风险的呢？“无风险”简单的直觉就是，不存在不确定的项呗，那就是 dW_t 的系数为 0，并且收益为无风险收益 r 。

事实确实如此，且有数学形式的定理来对此进行描述：

定理. 一个自融资组合 V_t 如果是无风险的，则可以表示为 dV_t=k_tV_tdt ，且 k_t\equiv r .

按照这个定理，我们非常熟悉的资产，比如债券 dB_t=rB_tdt ，就是一个无风险的自融资资产。无风险好理解，为什么说债券是自融资呢？因为根据微分式，有 B_t=e^{rt}，可以看到实际上“连续复利”的概念就等同于“把每时每刻产生的收益再投资到债券中”，后者即是常微分方程 dB_t=rB_tdt 最直白的描述， rB_tdt 是该时刻产生的收益， dB_t 是债券价值的增量。

根据以上定理，我们可以得到：

\left\{ \begin{aligned} &\Delta_t-V'_x=0&\quad(1)\\ &(\Delta_t-V'_x)\mu S_t-V'_t-\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2V''_{xx}=r\Pi_t&\quad(2)\\ \end{aligned} \right.

式 (1) 即 Delta 对冲法则，将 \Pi_t=V'_xS_t-V_t 带入式 (2) 我们再次得到 Black-Scholes 偏微分方程：V'_t+rS_tV'_x+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2 V''_{xx} -rV_t=0 。

4. 总结

至此，我们就把第一种方法的两种得到 PDE 的途径讲解完了。至于这个 PDE 是如何解的，其实不是很重要...

这个方程是个热方程，可以化为标准的热方程，然后使用热方程的基本解（或者叫热核，Heat Kernel）来计算解析解。

总之，我们这一章通过以下几步得到了衍生品定价的偏微分方程：

1. 设定 dS_t 和 dB_t 的形式，设 V_t 是 S_t,t 的函数；
2. 构建资产组合 \Pi_t ，利用伊藤-德布林公式求出相微分 d\Pi_t 和 dV_t ；
3. 利用自融资条件 + 无套利/无风险条件，分别令微分的各个部分系数相等，得到 PDE。

0. 概述

用测度变换的方法进行 BS 公式的推导是很多人都不想的...，因为你看上一章的内容无套利原理是多么的“友好”，小学生都能理解... 这也是为什么基本上教材啊、知乎上的文章啊都是从资产对冲、无套利定价到 PDE 以此来推出 BS 公式的。而这一章就会涉及到很多概率方面的定义和定理了，尽量给大家解释明白...

1. 鞅

鞅（Martingale）是金融定价里最核心的概念之一，下面给出定义

定义 (鞅). 在 (\Omega,\mathcal{F},P) 上的随机过程 X_t,t\in[0,T] 如果满足：

1. X_t 是 \mathcal{F}_t-适应的 (adapted);
2. E|X_t|<\infty,\forall t\in[0,T] ;
3. 对于 s\le t，有 E[X_t|\mathcal{F}_s]=X_s ；

则称 X_t 是关于域流 \mathcal{F_t} 的鞅。

不太清除“适应性”“域流”这些基本概念的同学，可以去我的第一篇文章“概率论与布朗运动”里看... 简单来说，鞅本质就是一个随机过程，这个随机过程满足一个性质：现在对未来的期望（条件），始终等于现在的值，如果是无条件的期望呢，那就等于初值嘛，即 E[X]=X_0 。

2. Radon-Nikodym 导数

既然说这一章要使用测度变换来进行BS模型的推导，那么必然涉及到测度之间的变换，RN导数就是连接两个测度之间的“桥梁”。

定义 (RN导数). 设 P 和 \tilde{P} 为 (\Omega,\mathcal{F}) 上的等价测度，若 Z>0 ， E[Z]=1\quad(a.s.) ，且有 \forall A\in\mathcal{F},\quad \tilde{P}(A)=\int_A{Z(w)dP(w)} ，则称 Z 是 \tilde{P} 关于 P 的 Radon-Nikodym 导数，记作： Z=\frac{d\tilde{P}}{dP} .

直观上来看， Z 就是两个 dP 之比，稍作变形有： \int_\Omega{Xd\tilde{P}}=\int_\Omega{XZdP} ，即 \tilde{E}[X]=E[ZX] ，其中 \tilde{E}[·] 表示在测度 d\tilde{P} 下的期望。

进一步的，可以用条件期望定义R-N导数过程： Z_t=E[Z|\mathcal{F_t }],\quad t\in[0,T] 。用鞅和R-N导数过程的定义，可以简单的证明 ，R-N导数过程 Z_t 是一个 \mathcal{F_t}-鞅：

\begin{aligned} E|Z_t| &= E\big| E[Z|\mathcal{F}_t] \big| \le E \big[ E\big[|Z|\big|\mathcal{F}_t\big] \big]=E|Z|<\infty \end{aligned} （可积性）

E[Z_t|\mathcal{F}_s]=E\big[ E[Z|\mathcal{F}_t]\big| \mathcal{F}_s\big]=E[Z|\mathcal{F}_s]=Z_s, \quad s<t\in[0,T] （鞅性质）

注意这里用到了重期望公式，也叫全期望公式（Tower property, or Law of total expectation）。

3. 资产的现值

现在让我们来思考一个问题，资产的价格是什么？如果是未来收益确定的资产（比如债券），那么它的价格理应等于未来固定收益价值的折现值。

我们用 V_t 表示一个风险资产的价值过程，已知该资产在 T 时刻具有不确定的价值 V_T ，假设该资产的现值（现在为 0 时刻）是 V_0 ，那么我们如何用 V_T 得到 V_0 呢？

我们回过头看一下鞅的定义，如果 X_t 是一个鞅，那么我们就可以知道它任意时刻的无条件期望就应该等于它的初值： X_0=E[X] 。显然，现实世界中这些资产的价值并不是一个鞅，那我们很自然的想法就是，如果在某个世界里这些资产的价值都是鞅，那么我们将资产价值变换到这个世界里，那就有 V_0=\tilde{E}[V_T] ，这样不就可以很轻松的对他们定价了么？

对，这就是 Risk-neutral Pricing 的动机所在。这里我们留一个坑：在这个“新的世界”里的价格和“现实世界”里应该有的价格是完全一致的么？

首先要知道，在 BS 模型的假设下，市场是完备（Complete）的，即任意资产 V_t 都可以被风险资产 S_t 和无风险资产 B_t 构成的组合所复制，即对任意一个 V_t ，我们可以把它表示为一个自融资组合：

\begin{aligned} dV_t&=\gamma_t dB_t+\Delta_tdS_t\\ &=(r\gamma_tB_t+\mu\Delta_tS_t)dt+\sigma\Delta_tS_tdW_t\\ &=\big[rV_t+(\mu-r)\Delta_tS_t\big]dt+\sigma\Delta_tS_tdW_t \end{aligned}

可以看到该组合的收益率部分由组合的时间价值 rV_tdt 与风险资产的超额收益 (\mu-r)\Delta_tS_tdt 构成。我们考虑该资产的折现价值过程 V_t/B_t ：

\begin{aligned} d\bigg(\frac{V_t}{B_t}\bigg)&=\frac{1}{B_t}dV_t-\frac{V_t}{B_t^2}dB_t\\ &=(\mu-r)\Delta_t\frac{S_t}{B_t}dt+\sigma\Delta_t\frac{S_t}{B_t}dW_t\\ &=\sigma\Delta_t\frac{S_t}{B_t}\big(\frac{\mu-r}{\sigma}dt+dW_t \big) \end{aligned}

请仔细端详一下这个表达式，我们之后马上会用...

4. 鞅表示

之前说到，我们的目标，是将资产价格过程通过一定变换转化为鞅，那么鞅和上面这个 d\bigg(\frac{V_t}{B_t}\bigg) 的 SDE 有什么关系呢？

定理 (鞅表示). 设 \{W_t,\mathcal{F_t^W},t\in[0,T]\} 是 (\Omega,\mathcal{F},P) 上的布朗运动，而 \{M_t,t\in[0,T]\} 为 \mathcal{F_t^W}-鞅，且满足 M_t\in \mathcal{L}^2(\Omega),t\in[0,T] ，则存在一个\mathcal{F_t^W}-适应的过程 \{\Gamma_t,t\in[0,T] \}\in\mathcal{V}[0,T] ，使得：

M_t-M_0=\int_0^t{\Gamma_u}dW_u

成立.

可以看到，如果 M_t 是鞅，那么 M_t 可以被表示为一个伊藤积分的形式，即没有 dt 项而仅仅只有 dW_t 项。

再看我们的折现价值过程 d\bigg(\frac{V_t}{B_t}\bigg) =\sigma\Delta_t\frac{S_t}{B_t}\big(\frac{\mu-r}{\sigma}dt+dW_t \big) ，如果想让它只有 dW_t 项从而变成一个鞅，我们貌似只需要做变换： d\tilde{W}_t=\frac{\mu-r}{\sigma}dt+dW_t ，这样折现价值过程就可以被表示为：

d\bigg(\frac{V_t}{B_t}\bigg) =\sigma\Delta_t\frac{S_t}{B_t}d\tilde{W}_t

但是，鞅表示定理有个非常非常重要的前提，就是你需要保证 \int_0^t{\Gamma_u}dW_u 这玩意儿是个伊藤积分，即 W_t 需要是一个布朗运动。W_t 我们知道是布朗运动，但是经过这样变换过后的 \tilde{W_t} 还是布朗运动么，或者说我们需要如何选择新的测度，来保证经过变换之后的 \tilde{W}_t 仍然是个布朗运动？

5. Girsanov 定理

多亏我们有大名鼎鼎的 Girsanov 定理，来帮我们找到合适的变换。

定理 (Grisanov). 设 \{W_t,\mathcal{F_t^W},t\in[0,T]\} 是 (\Omega,\mathcal{F},P) 上的布朗运动， \{\theta_t,t\in[0,T] \} 为一个相适应的过程，定义指数鞅过程：

Z_t=\exp \bigg( X_t-\frac{1}{2}[X,X]_t \bigg)

其中 X_t 是初值 X_0=0 的相适应的过程，[·,·] 表示二次变差。则可以定义新的概率测度 \frac{d\tilde{P}}{dP}\bigg|_{\mathcal{F_t}}=Z_t 。如果在概率测度 P 下 W_t 是一个布朗运动，那么：

\tilde{W}_t=W_t-[W,X]_t

在新的概率测度 \tilde{P} 下也是一个布朗运动。

这样一来，我们就找到了新的测度和两个测度之下布朗运动之间的关系。我们看新定义的这个布朗运动： d\tilde{W}_t=\frac{\mu-r}{\sigma}dt+dW_t ，它的实质是把资产的风险溢价项给消除了。

风险溢价是什么？是对承担单位风险的补偿，在新的测度下风险溢价是没有补偿的，所以说在这个世界里，风险是中性的，因此我们把这样定义的新测度 \tilde{P} 称为风险中性测度，并且用 Q 来表示。

6. 风险中性定价公式

现在我们知道了变换公式 d\tilde{W}_t=\frac{\mu-r}{\sigma}dt+dW_t ，那么在风险中性测度 Q 下，风险资产 S_t 所满足的 SDE 也需要进行相应的变化：

\begin{aligned} dS_t&=\mu rS_tdt+\sigma S_t\bigg(dW_t^Q-\frac{\mu-r}{\sigma}dt\bigg)\\ &=rS_tdt+\sigma S_tdW_t^Q \end{aligned}

由此可见，在风险中性世界里，风险资产（例如股票）的收益率竟然完全等于无风险收益率。

此时任意资产的折现价值过程可以被表示为：

d\bigg(\frac{V_t}{B_t}\bigg) =\sigma\Delta_t\frac{S_t}{B_t}dW_t^Q

我们知道 \frac{V_t}{B_t} 在 Q 下是一个鞅，那么由鞅的性质我们可以知道：

\frac{V_t}{B_t}=E^Q\bigg[\frac{V_T}{B_T}\bigg| \mathcal{F_t}\bigg]

常利率假设下有：

V_t=e^{-r(T-t)}E^Q[V_T|\mathcal{F_t}]

终于，大功告成，我们得到了著名的风险中性定价公式！其实我们可以发现这个定价公式就是鞅性质...

假设我们需要对一个欧式看涨期权进行定价，我们知道该期权在到期日 T 的价值为 (S_T-K)^+ ，则有：

\begin{aligned} V_t&=e^{-r(T-t)}E^Q\big[(S_T-K)·\bm{1}_{\{S_T\geq K\}}\big|\mathcal{F_t} \big]\\ &=S_tQ\left\{ x\geq -d_2 -\sigma\sqrt{T-t} \right\}-Ke^{-r(T-t)} Q\left\{ x\geq -d_2 \right\}\\ &=S_tN(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2) \end{aligned}

其中：

\begin{align} d_1&=\frac{\ln(\frac{S_t}{K})+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \\ d_2&=d_1-\sigma \sqrt{T-t} \end{align}

可以发现，这和我们用 PDE 方法得到的结果是一致的，并且免去了解热方程的麻烦步骤，转而只需要求一个积分 E^Q[·] 。

7. 总结

我们来总结一下 Risk-neutral Pricing 的几个步骤：

1. 找到资产的折现价值过程；
2. 作测度变换令这个折现价值在新的测度下为鞅；
3. 用 Girsanov 定理找到新的变换；
4. 利用鞅性质得到风险中性定价公式。

8. 补坑...

还记得之前留下的坑：“在这个“新的世界”里的价格和“现实世界”里的应该有的价格是完全一致的么”？我们已经证明过，定义的 R-N 导数过程 Z_t 是一个鞅，那么鞅测度是没问题了。

注意我们在 R-N 导数的定义中加粗的地方，这一切成立的基础是我们需要定义“等价测度”。只有在等价测度下，定价才是一致的。

定义 (测度等价). 称 (\Omega,\mathcal{F}) 上的两个测度 P 和 \tilde{P} 为等价的，如果有 \forall A\in\mathcal{F}, P(A)=0 \Leftrightarrow \tilde{P}(A)=0 .

根据这个定义，我们来定义一个与 P 等价的测度 \tilde{P} 。

对于 (\Omega,\mathcal{F},P) 上的满足 E[Z]=1 且非负的随机变量 Z ，定义：

\tilde{P}(A)=\int_A{Z(w)dP(w)}=E[\mathbb{I}_AZ]

此时对于任意非负可积的随机变量 X ，我们都有 \tilde{E}[X]=E[XZ] ，则可以证明，这样定义的 \tilde{P} 是一个等价概率测度。

我们来证明这一结论：

P(A)=0 \Rightarrow E[\mathbb{I}_A]=0 \Rightarrow \tilde{P}(A)=\tilde{E}[\mathbb{I}_A]=E[\mathbb{I}_AZ]=0

\tilde{P}(A)=0 \Rightarrow P(A)=E[\mathbb{I}_A]=\tilde{E}\bigg[\frac{\mathbb{I}_A}{Z}\bigg]=0

这样一来，就可以保证，我们用 Z=\frac{d\tilde{P}}{dP}定义的新测度 \tilde{P} 与原来的 P 是等价的，即在新的风险中性概率测度下的定价与现实世界概率测度下的定价是一致的。

以上几部分我们发现了用 Black-Scholes PDE 和 Risk-neutral Pricing Formula 计算欧式看涨期权价格的结果，是一模一样的。只不过第一种方法条件是用的 PDE，第二种方法条件用的是 SDE 和期望，那这二者之间有什么 general 的联系吗？嗯，这个联系就是 Feynman-Kac 定理的内容。

定理 (Feynman-Kac). 考虑带有终值条件的偏微分方程：

\frac{\partial v}{\partial t}+\mu(x,t)\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{1}{2}\sigma^2(x,t)\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}-rv=0, \quad v(x,T)=\varphi(x)

其解函数 v:\mathbb{R}\times[0,T] \rightarrow \mathbb{R} 可以表示为期望： v(x,t)=e^{-r(T-t)}E[\varphi(X_T)|\mathcal{F_t}] ，其中 X_t 满足随机微分方程：

dX_t=\mu(X_t,t)dt+\sigma(X_t,t)dW_t

可以看到，Feynman-Kac 定理说明了以上两种定价方法之间的联系。

除此之外，当我们正向使用 Feynman-Kac 定理时，可以用期望来简化计算 PDE；当我们逆向使用 Feynman-Kac 定理时，它给我们提供了波动率不是常数 \sigma 的假设下，资产价格的 PDE 解法。