金融数学第11讲（期权定价：两种B-S模型推导，期权有关的希腊字母，波动率微笑）

5.5 布莱克-舒尔斯期权定价模型（三）动态无套利分析的 B-S 模型推导

动态无套利思想，是通过构造股票+无风险证券的组合，不断调整，使得它的收益始终等于期权的收益。

回顾一下， \Delta=\frac{\partial f}{\partial S} 表示股票价格变动一个单位，期权价格变动的单位。所以我们需要始终保持下面这样的关系

f=\frac{\partial f}{\partial S} S-L\\

其中 f 为期权价格，S 为股票价格，L 为卖空的无风险资产。

股票价格变动一单位，加上前面的系数 \Delta ，就等于期权价格变动的 \Delta 单位。后面的无风险资产 L 属于配凑上去的常数，使得两者价值相同（可理解为不定积分之后加的那个常数）。

整理一下，我们也可以用股票+期权来构造无风险资产

L=\frac{\partial f}{\partial S} S-f\\

当时间 t 在很小范围内变化时，有

d L=-d f+\frac{\partial f}{\partial S} \delta S\\

而根据伊藤引理，期权价格 f 的微分为

\[df\left( {S,t} \right) = \frac{{\partial f}}{{\partial S}}dS + \frac{{\partial f}}{{\partial t}}dt + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {S^2}}}{\sigma ^2}{S^2}dt\\\]

将其代入得到

d L=\left(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial S^{2}} \sigma^{2} S^{2}\right) d t\\

且由于 L 是无风险债券，有

\frac{dL}{L}=r_{f} \delta t \quad \frac{d L}{\delta t}=r_{f} L\\

所以

\[\begin{array}{l} \frac{{\partial f}}{{\partial S}}dS + \frac{{\partial f}}{{\partial t}}dt + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {S^2}}}{\sigma ^2}{S^2} = {r_f}L = {r_f}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial S}}S - f} \right)\\ \Rightarrow \frac{{\partial f}}{{\partial t}} + {r_f}S\frac{{\partial f}}{{\partial S}} + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {S^2}}}{\sigma ^2}{S^2} = {r_f}f \end{array}\\\]

其中第一行第二个等号利用之前的关系 L=\frac{\partial f}{\partial S} S-f .

其中得到的第二行称为 B-S 随机微分方程，满足两个边界条件（由此可得两个不同的解，分别为 calls 的定价公式和 puts 的定价公式）：

\begin{array}{l} c=f(T)=\max (S-K, 0) \\ p=f(T)=\max (K-S, 0) \end{array}\\

这个方程的解并不要求，但可以将 B-S 公式代入验证一下。

（四）B-S 模型的风险中性推导

下面我们将从风险中性的角度，完整地推导出 B-S 公式（总算有个推导了，虽然我觉得我已经每一步都写清楚了，但公式太多还是会略显抽象，建议眼睛看感觉头疼的朋友拿张草稿纸一步一步抄过一遍！）。

这应该算是 B-S 公式最初等的推导了叭，毕竟我都能看懂。

（三）中利用动态对冲的方法，使得风险完全消除，得到的头寸关系式中不含有随机项，并且也不含有股票的收益率 \mu 。也就是说，不管这个股票最终的收益率是多少，与期权的定价都是没有关系的，也就说明我们的投资者是风险中性的，并不要求对股票的风险进行补偿。

所以可以采用风险中性假设！

此时所有风险资产的收益率都是相等的，假设都为 rf。那么股票从 t 到 T 时刻的收益率等于用无风险利率的连续复利率

E^{*}\left[\frac{\widetilde{S}(T)}{S(t)}\right]=\exp \left(r_{f}(T-t)\right)\\

需要注意的是，我们只假定风险中性，不影响股票价格的运动规律，它仍旧是对数正态分布，并且股票的波动率不变。

但股票在风险中性世界中的“收益率”和并不等于现实世界中那个我们从不关心的 \mu ，我们需要将其计算出来。

回顾一下，股票价格服从几何布朗运动，形式为

S_{t}=S_{0} e^{R(t)}=S_{0} e^{\mu t+\sigma W(t)}\\

我们令 t = T-t，将 0 改为 t，然后对其两边求期望，得到

E(\widetilde{S}(T))=S(t) \exp \left(\mu(T-t)+\frac{1}{2} \sigma^{2}(T-t)\right)\\

在风险中性世界中，同样地有

E^{*}(\widetilde{S}(T))=S(t) \exp \left(\bar{\mu}(T-t)+\frac{1}{2} \sigma^{2}(T-t)\right)\\

注意到风险中性假设给了我们一个额外的条件：收益率都等于 rf，即

E^{*}(\widetilde{S}(T))=S(t) \exp \left(r_{f}(T-t)\right)\\

对比两式我们立即得到 \bar{\mu}=r_{f}-\frac{1}{2} \sigma^{2} 。

下面以 calls 为例，推导 B-S 定价公式。

谨记：风险中性世界中，收益率等于无风险利率。

注意到买权的期末价值为 \max [\widetilde{S}(T)-K, 0] ，所以它在 0 时刻的定价应该为期望收益按无风险的贴现，即

c(S(t), t)=e^{-r_{f}(T-t)} E^{*}\{\max [\widetilde{S}(T)-K, 0]\}\\

现在对数正态假设可以派上用场了，对价格取对数之后得到收益率，它服从正态分布

\log \left(\frac{\widetilde{S}(T)}{S(t)}\right) \sim N\left(\bar{\mu}(T-t), \sigma^{2}(T-t)\right)\\

我们做个变量替换，令

z=\frac{\log \left(\frac{\widetilde{S}(T)}{S(t)}\right)-\bar{\mu}(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}\\

注意看 z 的形式，知道 B-S 公式中的 d1 d2 咋来了不？

显然 z 是服从标准正态的，从 z 中解出 S(T) 得到

\[\tilde S(T) = S(t)\exp \left\{ {\bar \mu (T - t) + z\sigma \sqrt {T - t} } \right\}\\\]

那么所求期望为

\[c(S(t),t) = {e^{ - {r_f}(T - t)}}{E^*}\{ \max [S(t)\exp \left\{ {\bar \mu (T - t) + z\sigma \sqrt {T - t} } \right\} - K,0]\} \\\]

利用随机变量函数的积分有

\[c(S(t),t) = {e^{ - {r_f}(T - t)}}\int_{ - \bar d}^\infty {\left[ {S(t)\exp \left\{ {\bar \mu (T - t) + z\sigma \sqrt {T - t} } \right\} - K} \right]\frac{{{e^{ - {z^2}/2}}}}{{\sqrt {2\pi } }}dz} \\\]

其中 \[ - \bar d\] 为某个 z 使得 \[S(t)\exp \left\{ {\bar \mu (T - t) + z\sigma \sqrt {T - t} } \right\} = K\] ，这里是将 max 中值为 0 的部分除去了，因为不影响积分值。

将无风险贴现合并到积分中得到

c(S(t), t)=S(t) \int_{-\bar{d}}^{\infty} e^{z \sigma \sqrt{T-t}+\left(\bar{\mu}-r_{f}\right)(T-t)} \frac{e^{-z^{2} / 2}}{\sqrt{2 \pi}} d z-K e^{-r_{f}(T-t)} \int_{-\bar{d}}^{\infty} \frac{e^{-z^{2} / 2}}{\sqrt{2 \pi}} d z\\

对于第二项，令 w = -z，则为

K e^{-r_{f}(T-t)} \int_{-\infty}^{\bar{d}} \frac{e^{-w^{2} / 2}}{\sqrt{2 \pi}} d w\\

对于第一项，注意到其中包含 z 的部分可以配方

\[\exp \left( {z\sigma \sqrt {T - t} } \right)\exp \left( { - {z^2}/2} \right) = C\exp \left( { - {{\left( {z - \sigma \sqrt {T - t} } \right)}^2}/2} \right)\\\]

所以令 \[w = \sigma \sqrt {T - t} - z\] ，积分变为

\[S(t){e^{\left( {\bar \mu - {r_f} + {\sigma ^2}/2} \right)(T - t)}}\int_{ - \infty }^{\bar d + \sigma \sqrt {T - t} } {\frac{{{e^{ - {w^2}/2}}}}{{\sqrt {2\pi } }}} dw\\\]

注意到由于 \bar{\mu}=r_{f}-\frac{1}{2} \sigma^{2} ，所以指数项直接删去！

我们把其中正态密度积分用标准正态分布函数值替代，那么 calls 的 B-S 定价公式就推导出来了！形式为

\[c(S(t),t) = S(t)N(\bar d + \sigma \sqrt {T - t} ) - K{e^{ - {r_f}(T - t)}}N(\bar d)\\\]

其中

\bar{d}=\frac{\log \left(\frac{S(t)}{K}\right)+\left(r_{f}-\frac{1}{2} \sigma^{2}\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}=d_{2},d_{1}=d_{2}+\sigma \sqrt{T-t}\\

记忆：如果你跟着推导了一遍，那么你会发现 -\bar{d} 为满足下面式子的 z

\[S(t)\exp \left\{ {\bar \mu (T - t) + z\sigma \sqrt {T - t} } \right\} = K\\\]

从中解出 \bar{d} 后再然后利用 \bar{\mu}=r_{f}-\frac{1}{2} \sigma^{2} 得到，并且 \bar{d} 为 B-S 公式中的 d2，d2 加上一个标准差就得到了 d1。

（五）B-S 模型的进一步解释

在风险中性世界中，N(d2) 表示股票价格在 T 时刻高于执行价格 K 的概率。

从上面的证明过程中也可以看出这一点，当时求 d2 的思想就是将 max 中等于 0 的部分消去，所以最后积分中剩下的就表示 ST > K 的概率

例 对于二值期权，即如果 ST > K 那么到期收益 1 元，否则到期收益 0 元。如何将其定价？

解 还是风险中性思想，用到期的期望收益按无风险利率贴现得到期初的价格。

而期末的收益就是 ST > K 的概率，也就是 N(d2)，所以将 N(d2) 按照无风险利率贴现就得到该期权在起初的价格。

而 N(d1) 实际上是我们在动态对冲中的套头比

\[\begin{array}{l} {\Delta _c} = \frac{{\partial c}}{{\partial S}} = N\left( {{d_1}} \right)\\ {\Delta _p} = \frac{{\partial p}}{{\partial S}} = - N\left( { - {d_1}} \right) \end{array}\\\]

另外，B-S 模型假定利率不变。一般来说，除了利率期权，利率变化对期权的影响并不大。如果无风险利率改变，在波动率不变情况下，可以用到期日与该期权相同的零息票债券的累计收益率来替代无风险利率。

5.6 期权的希腊字母

期权价值的影响因素中会变化的有四个（除去执行价格 K）：

• 股价：Delta, Gamma
• 到期时间：Theta
• 波动率：Vega
• 无风险利率：Rho

（一）Delta

Delta 是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了期权价值对标的资产的敏感性。

而根据 B-S 公式有

\Delta_{c}=N\left(d_{1}\right) \quad \Delta_{p}=N\left(d_{1}\right)-1<0\\

所以对于 calls， Delta 随标的股价变化的图像为

Delta 与到期时间的关系

Delta 的一个很重要的性质是线性。考虑一个期权投资组合，那么该组合的 Delta 就等于每个期权的 Delta 求加权和，即

\Delta=\sum_{i=1}^{n} w_{i} \Delta_{i}\\

为了对冲风险，我们希望一个投资组合的 Delta 为 0，即不随股价的波动而波动。这就是所谓的 Delta 对冲，其中 Delta 为 0 的资产称为 Delta 中性资产。并且注意到 Delta 往往随时间变化，所以我们构造的投资组合也是不断变化的，是一种动态对冲。

（二）Theta

Theta 是期权价值对时间 t 的变化率，度量了期权价值随时间的衰减速率。

\[\Theta = \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\\\]

距离到期时间 t 是完全确定的量，无需进行对冲。

根据 B-S 公式可以求得欧式 calls 和 puts 的 Theta

\Theta_{c}=-\frac{S_{0} N^{\prime}\left(d_{1}\right) \sigma}{2 \sqrt{T}}-r K e^{-r T} N\left(d_{2}\right)\\\Theta_{p}=-\frac{S_{0} N^{\prime}\left(d_{1}\right) \sigma}{2 \sqrt{T}}+r K e^{-r T} N\left(d_{2}\right)\\

其中 calls 的 Theta 随股价的变化如下图

可以看出，平价期权衰减的快。

另外 Theta 随时间的变化关系如下图

（三）Gamma

Gamma 是期权价值对标的资产价格的二阶偏导数，度量了 Delta 对标的资产价格变化的敏感性，或者说是期权价值对标的资产价格的凸性。

\[\Gamma = \frac{{\partial \Delta }}{{\partial S}} = \frac{{{\partial ^2}c}}{{\partial {S^2}}}\\\]

考虑 B-S 的随机微分方程形式

\[\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + {r_f}S\frac{{\partial f}}{{\partial S}} + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {S^2}}}{\sigma ^2}{S^2} = {r_f}f\\\]

当进行了动态对冲后，中间项没有了，所以

\[\Delta c = \Theta \Delta t + \frac{1}{2}\Gamma \Delta {S^2}\\\]

对于欧式 calls ，其 Gamma 为

\Gamma_{c}=\Gamma_{p}=\frac{N^{\prime}\left(d_{1}\right)}{S_{0} \sigma \sqrt{T}}\\

可以看出，当股价在执行价格附近（平价期权）的时候，Gamma 最大。

（四）Delta,Theta, Gamma的关系

根据随机微分方程，有

\begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial t}+r S \frac{\partial c}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^{2} S^{2} \frac{\partial^{2} c}{\partial S^{2}}=r c \\ \Theta+r S \Delta+\frac{1}{2} \sigma^{2} S^{2} \Gamma=r c \end{array}\\

如果投资组合时 Delta 中性，那么没有第二项

\Theta+\frac{1}{2} \sigma^{2} S^{2} \Gamma=r c\\

可以看出，如果 Theta 是很大的正数，那么 Gamma就是较大的负数，因此 Theta 可以用作 Gamma 的替代指标。

（五）Vega

Vega 是期权价值对标的资产价格波动率的偏导数，度量了期权价值对波动率的敏感程度。

\[Vega = \frac{{\partial c}}{{\partial \sigma }}\\\]

对于欧式期权，Vega 为

\[Veg{a_c} = Veg{a_p} = {S_0}\sqrt T N'\left( {{d_1}} \right)\\\]

也是平价期权的 Vega 最大。

先增后减

（六）Rho

Rho 是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期权价值对无风险利率变化的敏感程度。

\[\rho = \frac{{\partial c}}{{\partial r}}\\\]

不分红股票的欧式期权的 Rho 为

\[\begin{array}{l} {\rho _c} = KT{e^{ - rT}}N\left( {{d_2}} \right)\\ {\rho _p} = - KT{e^{ - rT}}N\left( { - {d_2}} \right) \end{array}\\\]

Rho 随股价递增。

当接近到期时间时，Rho 增大。

5.7 波动率微笑波动率微笑和波动率期限结构

市场参与者并不是给了股票价格的标准差，然后按照 B-S 公式取计算期权的价格的。恰恰相反，我们是通过观测到的期权价格，令它等于 B-S 公式中计算得到的价格，然后解出波动率。

从 Vega 形式中可知，期权价值随波动率递增，所以解是唯一的。

这样解得的波动率称为隐含波动率，可以将其与市场波动率进行比较，助于投资决策。

但有意思的是，通过这样算出来的隐含波动率并不是常数，对于不同的执行价格 K，得到不同的隐含波动率。

（一）波动率微笑

对于货币期权而言，隐含波动率常常呈现近似U形。平价期权的波动率最低，而实值和虚值期权的波动率会随着实值或虚值程度的增大而增大，两边比较对称。

股票期权的波动率微笑则呈现另一种不同的形状，即向右下方偏斜。当执行价格上升的时候，波动率下降，而一个较低的执行价格所隐含的波动率则大大高于执行价格较高的期权。

这个例子可以说明 B-S 公式从某种程度上讲是不正确的，因为它假定股票价格是对数正态分布，而事实上会有偏差。

（二）波动率期限结构

从长期来看，波动率大多表现出均值回归，即到期日接近时，隐含波动率的变化较剧烈，随着到期时间的延长，隐含波动率将逐渐向历史波动率的平均值靠近。

波动率微笑的形状也受到期权到期时间的影响。大多时候，期权到期日越近，波动率“微笑”就越显著，到期日越长，不同价格的隐含波动率差异越小，接近于常数

（三）意义和作用

波动率微笑和波动率期限结构的存在，证明了 B-S 公式关于波动率为常数的基本假设是不成立的，至少期权市场不是这样预期的。因此放松波动率为常数的假设，成为期权理论发展的一个重要方向。

解释隐含波动率的形态依然是期权定价理论中一个很有挑战性的课题