赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记 第31章 利率衍生产品：短期利率模型

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记第31章 利率衍生产品：短期利率模型

利率期限结构模型（term strcuture model），这些模型描述了所有零息利率的变动规律。

31.1 背景

在时刻t的无风险利率r是关于在t开始的一个无穷小时间段上的利率，有时也被称为瞬时短期利率（instantaneous short rate）。债券价格、期权价格以及其他衍生产品价格都只依赖于r在无风险中性世界里的过程，而与r在现实世界的形式无关。

在时刻T提供收益为f_T的利率衍生产品在时刻t的价值为

\hat{E}\left[e^{-\bar{r}(T-t)}f_T\right] \\

其中\bar{r}为r在时刻t与T之间的平均值，\hat{E}表示在传统风险中性世界里的期望值。

与通常一样，我们定义P(t,T)为在时刻T支付1美元的无风险零息债券在时刻t时的价格。得出

P(t,T)=\hat{E}\left[e^{-\bar{r}(T-t)}\right] \\

如果R(t,T)为在时刻t、期限为T-t、按连续复利的利率，那么

P(t,T)=e^{-R(0,T)(T-t)} \\

于是

R(t,T)=-\frac{1}{T-t}\ln P(t,T) \\

得出

R(t,T)=-\frac{1}{T-t}\ln\hat{E}\left[e^{-\bar{r}(T-t)}\right] \\

通过这个方程，任何时刻的利率期限结构都能够由r在该时刻的值以及其风险中性过程来求得。这说明一旦我们定义了r的过程，那么我们就完全定义了零息曲线的初始形状以及其随时间变动的规律。

假设r服从如下随机过程

\mathbf{d}r=m(r,t)\mathbf{d}t+s(r,t)\mathbf{d}z \\

由伊藤引理，任何依赖r的利率衍生产品价格f服从如下过程

\mathbf{d}f=\left(\frac{\partial f}{\partial t}+m\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{2}s^2\frac{\partial^2f}{\partial s^2}\right)\mathbf{d}t+s\frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{d}z \\

由于我们考虑的是传统风险中性世界，所以如果衍生产品不提供任何收入，其价格所服从的过程必须具有以下形式

\mathbf{d}f=rf\cdot\mathbf{d}t+\cdots \\

因此

\frac{\partial f}{\partial t}+m\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{2}s^2\frac{\partial^2f}{\partial r^2}=rf \\

这是利率衍生产品价格所服从的方程。这个方程等价于布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程，而零息债券价格是它的一个特殊解。

31.2 均衡模型

均衡模型一般先对一些经济变量做假设，并推导出一个关于短期利率r的过程，然后再得出r对债券价格与期权价格的影响。

在单因子均衡模型中，r的过程仅仅涉及一种不确定性。短期利率风险中性过程通常由以下形式的伊藤过程来描述

\mathbf{d}r=m(r)\mathbf{d}t+s(r)\mathbf{d}z \\

其中瞬时漂移项m与瞬时标准差s均为假设成r的函数（但与时间无关）。在这里只有一个因子的假设并不像看起来那么局限。单因子的假设意味着在一个很短时间内，所有利率都向同一方向变动，但它们所变化的大小并不一定相同。因此，零息曲线的形状可以随时间的变化而变化。

我们考虑一下三种单因子均衡模型

\begin{align} & m(r)=\mu r;\;s(r)=\sigma r &(Rendleman和Bartter模型)\\ & m(r)=a(b-r);\;s(r)=\sigma &(Vasicek模型) \\ & m(r)=a(b-r);\;s(r)=\sigma\sqrt{r}&（Cox,Ingersoll和Ross模型) \end{align} \\

31.2.1 Rendleman和Bartter模型

在Rendleman和Bartter模型中，r的风险中性过程为

\mathbf{d}r=\mu r\mathbf{d}t+\sigma r\mathbf{d}z \\

其中\mu和\sigma均为常数。这意味着r服从几何布朗运动，r的过程与股票价格所假设的过程是同一类型，并且可以通过描述股票价格变动的二叉树来表示。

利率与股票价格的一个重要区别在于利率有被“拉回”到某个长期平均水平的趋势，这种现象被称为均值回归（mean reversion）。Rendleman和Bartter模型没有考虑均值回归的性质。

31.2.2 Vasicek模型

在Vasicek模型中，r的风险中性过程为

\mathbf{d}r=a(b-r)\mathbf{d}t+\sigma\mathbf{d}z \\

其中a、b和\sigma均为非负常数。这一模型考虑了均值回归性：短期利率以速度a被拉回到水平b。模型是在这一回归里之上附加了一个服从正态分布的随机变量\sigma\mathbf{d}z。

对于在时刻T支付1美元的零息债券，Vasicek证明了可以得出这个债券在时刻t的价格为

P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r(t)} \\

在这个方程中，r(t)为r在时刻t的值，其中

B(t,T)=\frac{1-e^{-a(T-t)}}{a} \\

和

A(t,T)=\exp\left[\frac{(B(t,T)-T+t)(a^2b-\sigma^2/2)}{a^2}-\frac{\sigma^2B(t,T)^2}{4a}\right] \\

当a=0时，B(t,T)=T-t，A(t,T)=\exp\left[\sigma^2(T-t)^3/6\right]。

这个公式可以用一下方法得出。在微分方程中，设m=a(b-r)和s=\sigma，因此

\frac{\partial f}{\partial t}+a(b-r)\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 f}{\partial r^2}=rf \\

假设方程的形式是f=A(t,T)e^{-B(t,T)r}，带入微分方程后可以得到

B_t-aB+1=0 \\

和

A_t-abAB+\frac{1}{2}\sigma^2AB^2=0 \\

其中下标表示导数。A(t,T)和B(t,T)是这个两个方程的解。因为A(T,T)=1,B(T,T)=1，所以满足边界条件P(T,T)=1。

31.2.3 Cox,Ingersoll和Ross模型

Cox，Ingersoll和Ross（CIR）提出了另一种模型。在他们的模型中，r的过程为

\mathbf{d}r=a(b-r)\mathbf{d}t+\sigma\sqrt{r}\mathbf{d}z \\

与Vasicek模型一样，以上模型也具有均值回归性，但短期利率在一个很小时间区间内变化的标准差与\sqrt{r}成正比。这说明了当短期利率上涨时，其标准差也会增大。

在CIR模型中，债券价格具有与Vasicek模型中一样的形式

P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r(t)} \\

但函数B(t,T)和A(t,T)具有以下不同的形式

B(t,T)=\frac{2(e^{\gamma(T-t)/2})}{(\gamma+a)(e^{\gamma(T-t)}-1)+2\gamma} \\

和

A(t,T)=\left[\frac{2\gamma e^{(a+\gamma)(T-t)/2}}{(\gamma+a)(e^{\gamma(T-t)}-1)+2\gamma}\right]^{2ab/\sigma^2} \\

其中\gamma=\sqrt{a^2+2\sigma^2}。

这个公式可以用以下方法得出。在微分方程中，设m=a(b-r)和s=\sigma\sqrt{r}，

\frac{\partial f}{\partial t}+a(b-r)\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{2}\sigma^2r\frac{\partial^2f}{\partial r^2}=rf \\

与在Vasciek模型里一样，通过将f=A(t,T)e^{-B(t,T)r}带入微分方程，我们可以证明债券价格的公式。在这里A(t,T)和B(t,T)是以下方程的解

B_t-aB-\frac{1}{2}\sigma^2B^2+1=0 \\

和

A_t-abAB=0 \\

公式所给的价格满足边界条件P(T,T)=1。

31.2.4 Vasicek模型与CIR模型的性质

Vasicek模型与CIR模型里的函数A(t,T)和B(t,T)是不一样的，但在这两种模型里

P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r(t)} \\

因此

\frac{\partial P(t,T)}{\partial r(t)}=-B(t,T)P(t,T) \\

得出在时间t，期限为T-t的零息利率为

R(t,T)=-\frac{1}{T-t}\ln A(t,T)+\frac{1}{T-t}B(t,T)r(t) \\

以上方程说明了一旦a，b和\sigma被选定后，整个期限结构可以由一个r(t)的函数来确定。利率R(t,T)与r(t)之间有线性关系。这说明了r(t)的值确定了在时间t期限结构的大小，但期限结构在时间t的形状却与r(t)无关，而与时间t有关。其形状可以是上升、下降或具有轻微的“驼峰”的形状。

我们看到，如果债券或其他依赖利率的产品价格为Q，其久期D是由

\frac{\Delta Q}{Q}=-D\Delta y \\

来定义的，其中\Delta Q代表当收益曲线平行移动很小的\Delta y值时，Q的变化数量。可以与Vasicek模型和CIR模型结合使用的另一种久期定义为

\hat{D}=-\frac{1}{Q}\frac{\partial Q}{\partial r} \\

当Q为零息债券价格P(t,T)时，说明\hat{D}=B(t,T)。

当Q是n个零息债券的组合时，对1\leq i \leq n，P(t,T_i)是第i个债券的价格，c_i是其面值，那么

\hat{D}=-\frac{1}{Q}\frac{\partial Q}{\partial r}=-\frac{1}{Q}\sum_{i=1}^nc_i\frac{\partial P(t,T_i)}{\partial r}=\sum_{i=1}^n\frac{c_iP(t,T_i)}{Q}\hat{D}_i \\

其中\hat{D}_i是P(t,T_i)的\hat{D}。这说明在计算带息债券的\hat{D}时，我们将其视为组成这个债券的零息债券\hat{D}_i的加权平均，这与通常久期D的计算类似。与久期类似，我们可以定义Vasicek模型与CIR模型下的曲率测度。

由于P(t,T)是可交易证券的价格，其在传统风险中性世界里的增长率期望值为r(t)。因为债券价格P(t,T)是r(t)的函数，在P(t,T)过程中\mathbf{d}z的系数可以通过伊藤引理来得到：在Vasicek模型里为\sigma\partial P(t,T)/\partial r（t)，在CIR模型里为\sigma\sqrt{r(t)}\partial P(t,T)/\partial r(t)。可知P(t,T)在风险中性世界里的过程为

\begin{align} Vasicek:&\mathbf{d}P(t,T)=r(t)P(t,T)\mathbf{d}t-\sigma B(t,T)P(t,T)\mathbf{d}z(t) \\ CIR:&\mathbf{d}P(t,T)=r(t)P(t,T)\mathbf{d}t-\sigma\sqrt{r(t)}B(t,T)P(t,T)\mathbf{d}z(t) \end{align} \\

为了比较在给定r时有Vasicek模型与CIR模型所给出的利率期限结构，我们用相同的常数a和b，但是在Vasicek模型里的\sigma应当大致等于CIR里的\sigma乘以\sqrt{r(t)}，将Vasicek的\sigma记为\sigma_{vas}，CIR里的\sigma记为\sigma_{cir}。Vasicek模型给出的零息债券收益率比CIR模型要低。在Vasicek模型里r可能会出现负值，但在CIR模型里这是不可能的。

31.2.5 均衡模型的应用

一旦选取了我们所讨论的模型，一种处理方法是通过短期利率在过去的变化来确定参数（1个月期限和3个月期限的利率可以当做短期利率的近似）。搜集的数据可以是每天、每周或每月内短期利率的变化，确定参数的方法包括将r对\Delta r做回归或利用极大似然估计。另一种处理方法是收集债券价格，然后利用工具来确定使得债券市场价格与相应模型价格之差的平方达到最小的a、b以及\sigma的参数值。这两种处理方式之间有很重要的区别。第1种方式（与历史数据吻合）提供的是在现实世界里的参数估计，而第2种方式（与债券价格吻合）提供的是在风险中性世界里的参数估计。在进行情形分析时，我们感兴趣的是描述短期利率在现实世界里变化的模型。但是，在蒙特卡罗模拟时间里的每一时刻上，我们往往希望能够知道完整的利率期限结构。因此，我们需要在风险中性世界里的参数值。

但我们从现实世界转换到风险中性世界时，短期利率的波动率不会改变，但漂移项则会变化。为了确定漂移项的变化，我们需要估计利率风险的市场价格。Ahmad和Wilmott的方法是比较零息收益率曲线的斜率与短期利率在现实世界里的漂移项。他们对美国利率的利率风险市场价格长期平均值的估计大约为-1.2.在不同时间上，他们估计的利率风险市场价格变化很大。在市场疲软的情况下，“恐惧因素”会很高（比如在2007~2009年的信贷危机），这时的利率风险市场价格是比-1.2大得多的负数。

31.3 无套利模型

无套利模型（no-arbitrage model）的设计是做到与今天的利率期限结构完全吻合的模型。因此，均衡模型与无套利模型的本质区别如下：在均衡模型下，今天的利率期限结构是模型所输出的结果，而无套利模型将今天的利率期限结构作为输入来使用。

在均衡模型中，短期利率的漂移项（即\mathbf{d}t系数）一般不是时间的函数，但是在无套利模型中，漂移项与时间t有关，这是因为在无套利模型下，初始零息利率曲线的形状决定了将来短期利率变化所取的平均路径。如果零息利率曲线在时间t_1和t_2之间呈现急剧上升的形状，那么r在这两个时间之间的漂移项将会为正；反过来，如果零息利率曲线在这两个时间之间呈现急剧下降的形状，那么r在这两个时间之间的漂移项将会为负。

我们将会发现，在短期利率的漂移项中引入一个时间t的函数时，可以将一些均衡模型转换为无套利模型。

31.3.1 Ho-Lee模型

Ho和Lee在1986年第一次提出了关于期限结构的无套利模型。可以证明，Ho-Lee模型在连续时间的极限为

\mathbf{d}r=\theta(t)\mathbf{d}t+\sigma\mathbf{d}z \\

其中短期利率的瞬时标准差\sigma为常数，\theta(t)为时间t的函数，其选取的标准是确保模型与初始期限结构相吻合。变量\theta(t)定义了r随时间t移动的平均方向，它与r的大小无关。当该模型被用于利率衍生产品定价时，Ho-Lee模型里刻画风险市场价格的参数是没有关系的。

证明了

\theta(t)=F_t(0,t)+\sigma^2t \\

其中F(0,t)为时间0所观察的在时刻t的瞬时远期利率，而下标t表示对于t的偏导数。\theta(t)近似等于F_t(0,t)，这说明短期利率在将来移动的平均方向近似地等于远期利率曲线的斜率。在短期利率平均变动上附加的是按正态分布的随机向。

还证明了

P(t,T)=A(t,T)e^{-r(t)(T-t)} \\

其中

\ln A(t,T)=\ln\frac{P(0,T)}{P(0,t)}+(T-t)F(0,t)-\frac{1}{2}\sigma^2t(T-t)^2 \\

从今天的利率期限结构可得到对所有时刻t的零息债券价格P(0,T)。因此上式给出了以时刻t短期利率与债券在今天的价格表示的零息债券在将来时间t的价格。

31.3.2 Hull-White（单因子）模型

将Vasicek模型推广到与初始期限结构相吻合的情形，Vasicek模型扩展形式的其中一种是

\mathbf{d}r=[\theta(t)-ar]\mathbf{d}t+\sigma\mathbf{d}z \\

或

\mathbf{d}r=a\left[\frac{\theta(t)}{a}-r\right]\mathbf{d}t+\sigma\mathbf{d}z \\

其中a和\sigma为常数。这个模型通常被称为Hull-White模型。它既可以被刻画为具有均值回归速度a的Ho-Lee模型，也可以被刻画成具有依赖时间回归水平的Vasicek模型。在时间t，短期利率以a的速度回归到\theta(t)/a。Ho-Lee模型是Hull-White模型对应于a=0时的特例。

Hull-White模型具有Ho-Lee模型同样的解析性质。证明了

\theta(t)=F_t(0,t)+aF(0,t)+\frac{\sigma^2}{2a}(1-e^{-2at}) \\

这个等式的最后一项很小，如果我们将其忽略，则r的漂移项在时间t等于F_t(0,t)+a[F(0,t)-r]。这说明了在平均意义下，r延初始瞬时远期利率曲线的斜率方向变动。当利率离这一曲线太远时，均值回归会使利率以a的速度返回到该曲线。

证明了在Hull-White模型下，在时间t的债券价格为

P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r(t)} \\

其中

B(t,T)=\frac{1-e^{-a(T-t)}}{a} \\

和

\ln A(t,T)=\ln\frac{P(0,T)}{P(0,t)}+B(t,T)F(0,t)-\frac{1}{4a^3}\sigma^2(e^{-aT}-e^{-at})^2(e^{2at}-1) \\

我们将证明欧式债券期权的价格可以利用Hull-White模型与Ho-Lee模型的解析形式来计算。我们将给出利用三叉树来表示这些模型的方法，这对美式期权或其他不能用解析公式定价的衍生产品是很有用处的。

31.3.3 Black-Derman-Toy模型

在1990年，Black、Derman和Toy提出了针对对数正态短期利率过程的二叉树模型。可以证明对应于这种模型的随机过程是

\mathbf{d}\ln r=[\theta(t)-a(t)\ln r]\mathbf{d}t+\sigma(t)\mathbf{d}z \\

且有

a(t)=-\frac{\sigma'(t)}{\sigma(t)} \\

其中\sigma'(t)是\sigma(t)对于t的导数。相对于Ho-Lee模型和Hull-White模型而言，Black-Derman-Toy模型的优点是利率不会取负值。维纳过程\mathbf{d}z会使\ln r取负值，但r本身永远是正的。模型的确定是缺少解析性质。这个模型的一个更严重的缺点是构造树形时在波动率参数\sigma(t)与回归速度参数a(t)之间强加上了一种关系。只有当短期利率波动率是时间的递减函数时，回归速度才会是正的。

在实践中，这个模型最有用的是当\sigma(t)为常数时的特殊情形。这时参数a为零，所以在模型里没有均值回归性质。这时的模型为

\mathbf{d}\ln r=\theta(t)\mathbf{d}t+\mathbf{d}z \\

这可以刻画成对数正态版的Ho-Lee模型。

31.3.4 Black-Karasinski模型

在1991年，Black和Karasinski建立了Black-Derman-Toy模型的一种推广形式，其中回归率与波动率由相互独立的方式确定。模型的最一般形式是

\mathbf{d}\ln r=[\theta(t)-a(t)\ln r]\mathbf{d}t+\sigma(t)\mathbf{d}z \\

这个模型与Black-Derman-Toy模型的形式是一样的，但不同之处是在a(t)与\sigma(t)之间没有关系。在实践中常常将a(t)与\sigma(t)假设成常数，因此模型变为

\mathbf{d}\ln r=[\theta(t)-a\ln r]\mathbf{d}t+\sigma\mathbf{d}z \\

与我们前面考虑的模型一样，函数\theta(t)的选取是为了使模型与初始利率期限结构完全吻合。模型没有解析性质，但我们将会看到，利用三叉树可以再确定\theta(t)的同时也描述r的过程。

31.3.5 Hull-White两因子模型

Hull和White发展了一种两因子模型

\mathbf{d}f(r)=[\theta(t)+u-af(r)]\mathbf{d}t+\sigma_1\mathbf{d}z_1 \\

其中f(r)是r的函数，u的初始值为0，并且服从以下过程

\mathbf{d}u=-bu\mathbf{d}t+\sigma_2\mathbf{d}z_2 \\

和刚才考虑的单因子模型一样，参数\theta(t)的选择是为了使模型与初始期限结构一致。随机过程u是f(r)回归水平的一部分，其自身以b的速度回归到水平0上。参数a，b，\sigma_1和\sigma_2均为常数，\mathbf{d}z_1和\mathbf{d}z_2为两个具有瞬时相关系数\rho的维纳过程。

与单因子模型相比，这个模型能够提供更为丰富的期限结构形状和更为丰富的波动率形状。

31.4 债券期权

对于Vasicek模型、Ho-Lee模型以及Hull-White模型，在时间s到期的零息债券上，期限为T的欧式看涨期权在时间0的价值为

LP(0,s)N(h)-KP(0,T)N(h-\sigma_P) \\

其中L为债券本金，K为执行价格，并且

h=\frac{1}{\sigma_P}\ln\frac{LP(0,s)}{P(0,T)K}+\frac{\sigma_P}{2} \\

相应的欧式看跌期权价格为

KP(0,T)N(-h+\sigma_P)-LP(0,s)N(-h) \\

证明了对于Vasicek和Hull-White模型

\sigma_P=\frac{\sigma}{a}\left[1-e^{-a(s-T)}\right]\sqrt{\frac{1-e^{-2at}}{2a}} \\

对于Ho-Lee模型

\sigma_P=\sigma(s-T)\sqrt{T} \\

上式与对债券定价的布莱克模型是基本一致的，远期债券价格的波动率为\sigma_P/\sqrt{T}。我们可以将利率上限或下限表示为零息债券期权的组合，因此我们可以利用以上给出的方程以解析形式来表达上限/下限的价格。

对于Cox、Ingersoll和Ross模型，同样也存在计算零息债券期权的解析公式，但这些公式设计非中心Chi-平方分布的积分。

带券息的债券期权

在单因子模型下，当r下降时，所有零息债券的价格都会上涨；而当r上升时，所有零息债券的价格都会下降。因此，在单因子模型下，我们可以将关于带息债券的欧式期权表示成一些关于零息债券欧式期权的组合。具体程序如下：

（1）计算的r的关键值r^*，该值保证在期权到期时，相应的带息债券的价格等于债券期权的执行价格；

（2）计算零息债券期权在T时刻的价格，这些零息债券构成了带息债券，其中每个期权的执行价格都等于在时间T，当r=r^*时的零息债券价格；

（3）令带息债券的期权价格等于在第（2）步所计算出的所有零息债券欧式期权的价格总和。

这样，我们可以在Vasicek模型，Cox、Ingersoll和Ross模型，Ho-Lee模型以及Hull-White模型下计算关于带券息的债券期权价格。一个欧式互换期权可以被看成是带券息债券上的欧式期权，因此，欧式互换期权也可以由以上描述的过程来定价。

31.5 波动率结构

在Ho-Lee模型中，3个月期远期利率波动率对于所有期限都是相同的。在单因子Hull-White模型中，由于均值回归的影响，3个月期远期利率波动率随时间期限的增大而下降。在Hull-White两因子模型中，在合理地选择参数的情况下，3个月期远期利率波动率具有“驼峰”形状。这一现象与实证分析中由利率上限所隐含的波动率形状是一致的。

31.6 利率树形

利率树形是短期利率随机过程在离散时间下的表现形式，这与股票价格树形是对于股票价格所服从过程在离散时间下的表现形式基本是一样的。假如树形的时间步长为\Delta t，那么树形上的利率是\Delta t时间段按连续复利的利率。在构造树形时，通常的假设是\Delta t时间段上的利率R所服从的随机过程与相应瞬时利率r在连续时间下的随机过程是一样的。利率树形与股票树形的主要区别在于贴现的方式：在股票价格树上，一般的假设是贴现率在每个节点上都是一样的（或为时间的函数），但在利率树上，贴现率在不同节点上的值是不相同的。

三叉树的主要优点是它为用户多提供了一项自由度，这样，利率过程的特点比如均值回归可以更方便地被表达出来。三叉树方法等价于显示有限差分法。

31.6.1 三叉树应用例解

利用三叉树对利率衍生产品定价，这里的三叉树是一个2步树形，步长为1年，即\Delta t=1。假设在每个节点上，向上、保持不变、向下的概率分别为0.25、0.5、0.25。所假设的\Delta t时间段利率显示在节点上方。

我们将利用以上树形来计算一个在第2年年末提供收益为

\max[100(R-0.11),0] \\

的衍生产品价值，其中R为\Delta t时间段利率。计算出的衍生产品价值现实在节点下方。在最后一步的节点上，衍生产品的价格等于其收益。在前面的节点上，衍生产品的价值是通过反向递推方式计算得出的。

31.6.2 非标准树枝

通常的树枝形状现实在图（a）中，其形状为“上升一格/平行/下降一格”；图（b）所示的树枝形状为“上升两格/上升一格/平行”，这种形状在考虑均值回归而且利率很低时会用到；图（c）所示的第3种树形形状为“平行/下降一格/下降两格”。这种形状在考虑均值回归而且利率很高时会用到。

31.7 建立树形的过程31.7.1 第一步

刻画瞬时短期利率r的Hull-White模型为

\mathbf{d}r=[\theta(t)-ar]\mathbf{d}t+\sigma\mathbf{d}z \\

假定树形的时间步长为常数，并等于\Delta t。

我们假定\Delta t时间段利率R服从与r相同的过程

\mathbf{d}R=[\theta(t)-aR]\mathbf{d}t+\sigma\mathbf{d}z \\

显然当\Delta t趋于零时，这是一个合理假设。构造关于这个模型三叉树的第1步是建立一个关于变量R^*的三叉树，这里R^*的初始值为零，并且服从过程

\mathbf{d}R^*=-aR^*\mathbf{d}t+\sigma\mathbf{d}z \\

这个过程关于R^*=0为对称，变量R^*(t+\Delta t)-R^*(t)服从正态分布。如果忽略\Delta t的高阶项，那么R^*(t+\Delta t)-R^*(t)的期望值为-aR^*(t)\Delta t，方差为\sigma^2\Delta t。

定义\Delta R为树形上利率之间的距离，并令

\Delta R=\sigma\sqrt{3\Delta t} \\

可以证明，从减小误差的角度来看，这是一个很好的选择。

程序第1步的目的是对R^*构造一个属性。为了这个目的，在每个节点上我们都需要确定应该使用哪一种树枝，这也就确定了树形的几何形状。一旦确定了树枝形状后，我们还要计算数值所对应的概率。

将t=i\Delta t和R^*=j\Delta R时所对应的节点记为(i,j)（变量i为正整数，j为正或负整数）。在一个节点上所使用的树枝形状必须使所有三个树枝的概率均为正值。在大多数情况下，图（a）的树枝形状是合适的。当a>0时，对于充分大的j而言，有必要从图（a）所示树枝换成图（c）所示树枝；类似地，当j为充分大的负数时，有必要由图（a）所示树枝换成图（b）所示树枝。定义j_{max}为我们由图（a）所示树枝换成图（c）所示树枝时相应的j值；j_{min}为我们将图（a）所示树枝换成图（b）所示的树枝时相应的j值。Hull和White证明了当令j_{max}为大于或等于\frac{0.184}{a\Delta t}的最小整数和j_{min}=-j_{max}时，所有的概率均为正值。定义p_u，p_m和p_d为从节点所延伸出的上、中和下树枝所对应的概率。概率的选择保证了在下一时间段\Delta t中，R^*的变化的期望值和方差与其树形相吻合，这些概率的和等于1。对于3个概率，我们可以建立3个方程。

前面已经提到过，在时间\Delta t内，R^*变化的均值为-aR^*\Delta t，方差为\sigma^2\Delta t，在节点(i,j)上，R^*=j\Delta R。如果树枝的形状如图（a）所示，节点上的概率p_u、p_m和p_d满足以下关系式

\begin{align} p_u\Delta R-p_d\Delta R&=-aj\Delta R\Delta t \\ p_u\Delta R^2+p_d\Delta R^2&=\sigma^2\Delta t+a^2j^2\Delta R^2\Delta t^2 \\ p_u+p_m+p_d&=1 \end{align} \\

令\Delta R=\sigma\sqrt{3\Delta}，则以上方程的解为

\begin{align} & p_u=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}(a^2j^2\Delta t^2-aj\Delta j) \\ & p_m=\frac{2}{3}-a^2j^2\Delta t^2 \\ & p_d=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}(a^2j^2\Delta t^2+aj\Delta t) \end{align} \\

类似地，如果所伸出的数值如图（b）所示，则相应的概率为

\begin{align} & p_u=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}(a^2j^2\Delta t^2+aj\Delta j) \\ & p_m=-\frac{1}{3}-a^2j^2\Delta t^2-2aj\Delta t \\ & p_d=\frac{7}{6}+\frac{1}{2}(a^2j^2\Delta t^2+3aj\Delta t) \end{align} \\

最后，如果所伸出的树枝如图（c）所示，则相应的概率为

\begin{align} & p_u=\frac{7}{6}+\frac{1}{2}(a^2j^2\Delta t^2-3aj\Delta j) \\ & p_m=\frac{1}{3}-a^2j^2\Delta t^2 +2aj\Delta t\\ & p_d=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}(a^2j^2\Delta t^2-aj\Delta t) \end{align} \\

注意，每个节点上概率仅仅依赖于j。

31.7.2 第2步

构造树形的第2步是将R^*的树形转换为R的树形，这可以通过变动R^*树形的节点而使初始利率结构与树形完全吻合。定义

\alpha(t)=R(t)-R^*(t) \\

我们希望对固定的\Delta t，所构造的树形能够与期限结构完全吻合，因此，我们以递推的形式确定\alpha。

定义\alpha_i为\alpha(i\Delta t)，\alpha_i等于R在R-树形上时间i\Delta t的值减去R^*-树形上在时间i\Delta t的相应值。定义Q_{i,j}为如下证券的贴现值：当节点(i,j)被达到时，支付1美元，否则支付为0。\alpha_i和Q_{ij}可以通过向前递推的形式来计算，递推过程保证了树形与初始期限结构保持吻合。

31.7.3 第2步数值例解

Q_{0,0}的值为1.0。\alpha_0的选取使得在时间\Delta t到期的零息债券价格与树形吻合，也就是说，\alpha_0被设定为初始\Delta t时间段的利率。

31.7.4 计算\alpha和Q的公式

假定我们已经求得了所有当i\leq m(m\geq 0)时的Q_{ij}。接下来一步是确定\alpha_m来保证R-树形可以正确地给出期限为(m+1)\Delta t的零息债券价格。在节点(m,j)上的利率为\alpha_m+j\Delta R，因此在(m+1)\Delta t到期的零息债券价格为

P_{m+1}=\sum_{j=-n_m}^{n_m}Q_{m,j}\exp\left[-(a_m+j\Delta R)\Delta t\right] \\

其中n_m是在时间m\Delta t时在中间节点每边的节点个数，以上方程的解为

a_m=\frac{\ln\sum_{j=-n_m}^{n_m}Q_{m,j}e^{-j\Delta R\Delta t}-\ln P_{m+1}}{\Delta t} \\

一旦确定了\alpha_m，对于i=m+1，Q_{i,j}可由以下方程计算得出

Q_{m+1,j}=\sum_kQ_{m,k}q(k,j)\exp[-(\alpha_m+k\Delta R)\Delta t] \\

其中q(k,j)为由节点(m,k)移动到节点(m+1,j)的概率，求和指标是所有使这个概率不为零的k值。

31.7.5 推广到其他模型

推广到具有以下形式的其他过程上

\mathbf{d}f(r)=[\theta(t)-af(r)]\mathbf{d}t+\sigma\mathbf{d}z \\

其中f是r的单调函数。这种模型具有可以和任何期限结构相吻合的性质。

同前面一样，我们假设\Delta t段利率R服从于r同样的过程

\mathbf{d}f(R)=[theta(t)-af(R)]\mathbf{d}t+\sigma\mathbf{d}z \\

令x=f(R)，于是

\mathbf{d}x=[theta(t)-ax]\mathbf{d}t+\sigma\mathbf{d}z \\

第一阶段是对x^*建立树形，其中x^*服从与x同样的过程，但相应的\theta(t)为0，而且初始值为0。

我们接下来对时间i\Delta t的节点移动\alpha_i，并使得树形与初始期限结构相吻合。这里确定\alpha_i和Q_{i,j}的递推方程与f(R)=R的情形略有不同。Q在第一个节点Q_{0,0}被假设为1。假定对所有的i\leq m(m\geq 0)，Q_{i,j}都已经被确定，下一步是确定\alpha_m使树形可以正确地为(m+1)\Delta t到期的零息债券定价。定义g为函数f的反函数，在时间m\Delta t，第j个节点上\Delta t时间段的利率为

g(\alpha_m+j\Delta x) \\

在时间(m+1)\Delta t到期的零息债券价格为

P_{m+1}=\sum_{j=-n_m}^{n_m}Q_m\exp[-g(\alpha_m+j\Delta x)\Delta t] \\

这个方程可的数值解可以通过Newton-Raphson迭代法给出。当m=0时，\alpha_0等于f(R(0))。

一旦求出了\alpha_m，对于i=m+1，Q_{i,j}可由以下方程来计算

Q_{m+1,j}=\sum_kQ_{m,k}q(k,j)\exp[-g(\alpha_m+k\Delta x)\Delta t] \\

其中q(k,j)为由节点(m,k)移动到节点(m+1,j)的概率，求和指标是对所有使概率q(k,j)不为零的k值。

当选取f(r)=r时，我们可以得到Hull-White模型；当f(r)=\ln(r)时，我们可以得到Black-Karasinski模型。模型f(r)=r的主要优点是它的解析性质，主要缺点是存在出现负利率的可能。在大多数情形下，模型出现负利率的概率很小，但有些分析员不愿意使用任何会出现负利率的模型。模型f(r)=\ln(r)没有解析性质，但其优点是利率永远为正。

31.7.6 如何处理低利率环境

一种避免负利率的方法是当r很低时，将f(r)选择为与\ln(r)成比例，而在其他情况下将f(r)选择为与r成比例。另一种做法是将短期利率取做有Vasicek类型模型所定义利率的绝对值。假设r的回归速度和波动率都是r的函数，而这些函数可以通过实证来估计。然后将r转换成使\mathbf{d}z系数为常数的新变量。

31.7.7 解析结果和树形并用

当构造f(r)=r的Hull-White模型树形时，解析结果可以求得每个节点上的期限结构和欧式期权价格，注意树形所给出的是\Delta t时间段的利率R，并不是瞬时利率r。

我们可以证明

P(t,T)=\hat{A}(t,T)e^{-\hat{B}(t,T)R} \\

其中

\begin{align} \ln\hat{A}(t,T)=&\ln\frac{P(0,T)}{P(0,t)}-\frac{B(t,T)}{B(t,t+\Delta t)}\ln\frac{P(0,t+\Delta t)}{P(0,t)} \\ &-\frac{\sigma^2}{4a}(1-e^{-2at})B(t,T)[B(t,T)-B(t,t+\Delta t)] \end{align} \\

和

\hat{B}(t,T)=\frac{B(t,T)}{B(t,t+\Delta t)}\Delta t \\

（对Ho-Lee模型。在以上方程中我们令\hat{B}(t,T)=T-t。）

31.7.8 美式债券期权树形

对于欧式和美式债券期权、上限/下限，以及欧式互换期权，DerivaGem软件实现了正态和对数正态模型。

31.8 校正

到目前为止我们都是假定参数a和\sigma是已知的。确定参数的过程通常被称为对模型的校正。

波动率参数是由在市场上交易活跃的期权市场数据来确定的。这些市场上交易活跃的产品被称为校正产品（calibrationg instrument）。校正过程的第一步是选取一个衡量拟合质量（goodness-of-fit）的测度。假定有n个校正产品，一种流行的测度是

\sum_{i=1}^n(U_i-V_i)^2 \\

其中U_i为第i个校正产品的市场价格，V_i为由模型给出的这个产品价格，模型校正的目标是选取参数来使得以上测度达到最小。

波动率参数的数量不应当多于校正产品的数量。如果a和\sigma为常数，那么我们只有两个波动率参数。我们可以将模型推广到a或\sigma或两个参数均为时间函数的情形，此时可以利用阶梯函数。假设a为常数，而\sigma为时间的函数。我们可以选取时间t_1,t_2,\cdots,t_n，并假设对t\leq t_1，\sigma(t)=\sigma_0；对t_i\leq t\leq t_{i+1},\sigma(t)=\sigma_i(1\leq i\leq n-1)，以及对t>t_n,\sigma(t)=\sigma_n。这样，我们共有n+2个波动率参数：a,\sigma_0,\sigma_1,\cdots,\sigma_n。

对拟合测度求最小化可以通过Levenberg-Marquardt程序来完成。当a和\sigma或两个参数均为时间的函数时，在拟合测度上常常需要加上一个惩罚函数（penalty function）以使得这些函数具备良好的性质。在刚才的例子中，\sigma为阶梯函数，我们可以将目标函数取成

\sum_{i=1}^n(U_i-V_i)^2+\sum_{i=1}^nw_{i,1}(\sigma_i-\sigma_{i-1})^2+\sum_{i=1}^{n-1}w_{2,i}(\sigma_{i-1}+\sigma_{i+1}-2\sigma_i)^2 \\

用于校正模型的产品应当与被定价的产品相似。

将a或\sigma或两个参数都设成时间的函数的优点是能够使模型更精确地与在市场上交易活跃的产品价格吻合，其缺点是波动率结构会因此变得不稳定。模型给出的将来波动率期限结构可能与今天市场上存在的波动率有很大的差异。

一种与此有不同的校正方式是用所有可用的校正产品来计算出“整体最优吻合”（global-best-fit）参数a和\sigma。将参数a固定为最优吻合值时，我们可以采用与布莱克-斯科尔斯-默顿同样的方法来使用模型，这时在期权价格和参数\sigma之间存在意义对应关系。

31.9 利用单因子模型进行对冲

应当注意的是，在对利率衍生产品定价时，我们常常假设只有一个因子，但在进行对冲时，只有一个因子的假设却不太合适。例如，我们计算的Delta应当是允许在零息曲线上由多种不同的变化，而不是仅仅局限于选定模型所提供的变化。在对冲时，在实际中的做法是既考虑所选取模型下可能的变化，同时也考虑在模型下不可能的变化。这一做法被叫模型外对冲（outside model hedging），这是交易员的标准做法。实际上，当谨慎地使用一个单因子模型时，它通常会给出合理的产品价格，但在设计一个好的对冲方案时，我们将有意或无意地假设由多个因子。