罗斯《公司理财（原书第11版）》笔记 第三篇 风险第12章 看待风险与收益的另一种观点：套利定价理论12.1 简介CAPM告诉我们如果市场是均值—方差有效的
罗斯《公司理财（原书第11版）》笔记 第三篇 风险第12章 看待风险与收益的另一种观点：套利定价理论12.1 简介
CAPM告诉我们如果市场是均值—方差有效的，那么衡量系统性风险最好的方法是使用贝塔系数。CAPM推导出一只股票的期望收益和贝塔系数线性相关。在消除非系统性风险上，我们强调了分散化的重要性。
任何一只股票的收益都可以这样来表示：
R=\overline{R}+U \\
式中，R是实际收益；\overline{R}是期望收益；U是收益中非预期的部分。U是意想不到的部分，构成了风险。
股票的风险可以进一步分为两个部分：系统性风险和非系统性风险。因此，可以写作
R=\overline{R}+m+\varepsilon \\
式中，m是收益的系统风险；\varepsilon是非系统风险。
两个公司收益的非系统部分不相关并不意味着它们的系统部分也不相关。恰恰相反，因为两个公司都受到同一个市场风险的影响，所以单个公司的系统风险及它们的总收益是相关的。
贝塔系数（beta conefficient）告诉我们股票收益对某一系统风险的反应程度。
因素模型（factor model），其中记作F的系统风险来源称为“因素”。K个因素模型最完美的形式是一个每只股票的收益都按下面的形式产生的：
R=\overline{R}+\beta_1+F_1+\beta_2F_2+\cdots+\beta_KF_K+\varepsilon \\
式中，\varepsilon是某只股票特有的，与其他公司股票的\varepsilon不相关。到目前为止，研究人员尚不能确定一套确切的因素。
在实践中，研究人员经常使用单因素模型。他们使用股票市场指数，比如标准普尔500指数，甚至是包含更多只股票、具有更广泛基础的指数作为唯一的因素。使用单因素模型，我们可以把收益写作：
R=\overline{R}+\beta(R_{S\&P500}-\overline{R}_{S\&P500})+\varepsilon \\
式中仅仅只有一个因素（标准普尔500指数组合的收益），我们不必对贝塔系数加注下标。这种形式（略加修改）的因素模型称为市场模型（market model）：
R=\overline{R}+\beta(R_M-\overline{R}_M)+\varepsilon \\
式中，R_M是市场组合的实际收益；\beta是贝塔系数。
我们将从N只股票中构建投资组合，而且我们将应用单因素模型确定系统风险。在N只股票中，第i只股票的收益是：
R_i=\overline{R}_i+\beta_iF+\varepsilon_i \tag{12-1}
式中，我们采用下标i表示这些变量和第i种股票相联系。注意，因素F没有任何下标，这个因素对所有的股票都适用。
\beta_i有下标是因为这种因素以其独特的方式对第i只股票产生影响。如果\beta_i是0，第i种股票的收益是：
R_i=\overline{R}_i+\varepsilon_i \\
总之，如果\beta_i等于0，第i只股票的收益不受因素F的影响；如果\beta_i是正数，因素F的正方向变动将增加第i只股票的收益，负方向变动将降低它们的收益；相反地，如果\beta_i是负数，第i只股票的收益与因素F变动的方向相反。
假设没有非系统风险，也就是说，\varepsilon=0。
设X_i是第i中证券在投资组合中的比例。因为X_i表示每只股票的价值在我们投资组合总价值中所占的比例，所以我们知道X_i之和等于100%或1，即
X_1+X_2+\cdots+X_N=1 \\
我们知道投资组合的收益是组合中每种资产的收益的加权平均。用公式来表示，可以写作：
R_P=X_1R_1+X_2R_2+\cdots+X_NR_N \tag{12-2}
将式（12-1）代入式（12-2）我们可以得出：
\begin{align} R_P=& X_1(\overline{R}_1+\beta_1F+\varepsilon_1)+X_2(\overline{R}_2+\beta_2F+\varepsilon_2)+\cdots+X_1(\overline{R}_N+\beta_NF+\varepsilon_N) \tag{12-3} \\ &(股票1的收益) \qquad \qquad(股票2的收益) \qquad\qquad \qquad(股票N的收益) \end{align}
式（12-3）告诉我们投资组合的收益取决于如下3个参数：
（1）每种证券的期望收益（\overline{R}_i）；
（2）每种证券的贝塔系数与因素F的乘积（\beta_iF）；
（3）每种证券的非系统风险（\varepsilon_i）。
我们可把式（12-3）按三个参数表示成如下形式：
期望收益的加权平均
R_P=(X_1\overline{R}_1+X_2\overline{R}_2+\cdots+X_N\overline{R}_N) \\
贝塔系数的加权平均数\times F
+(X_1\beta_1+X_2\beta_1+\cdots X_N\beta_N)\times F \\
非系统风险的加权平均数
+(X_1\varepsilon_1+X_2\varepsilon_2+\cdots+X_N\varepsilon_N) \tag{12-4}
第1行没有不确定性，因为那里只有各种证券收益的期望值。第2行的不确定性仅仅反映在F一项。第3行的不确定性表现为每种证券的非系统风险\varepsilon_i。
在大型投资组合中，式（12-4）中的第3行居然消失了。
每种证券都有它的非系统风险，某一种证券的意外与另一种证券的意外不相关。通过对每只股票的少量投资，我们可以把大型组合中的非系统风险的加权平均数降到接近0。
但第1行和第2行没有变化。因为第1行根本不存在不确定性，所以第1行不会因为组合的多元化而消失。第2行括号中的还是贝塔系数的加权平均数，当增加组合中证券的个数时它们也不会消失。因为因素F不受组合中所包含的证券个数的影响，所以2行也不会消失。
第2行和第3行都反映了投资组合的不确定性。关键在于第3行中有很多非系统风险，这些非系统风险之间相互独立。当投资组合中资产个数增加时，组合多元化效应变得越来越强，结果投资组合的风险越来越小，而收益越来越确定。但是系统风险因素F影响所有的证券，因为它在第2行的括号外。我们不能通过投资与多种证券来规避这个因素，所以组合多元化在第2行没有其作用。
如果股东忽略证券的非系统风险，那么唯有证券的系统风险与这个你全的期望收益相关。
代表4种资产的每一个点可以通过无风险资产与其他三个中的任何一个的组合来表示。
证券B的价格太高。在一个竞争市场中，它的价格将会下降，促使其期望收益回归到证券市场线上的均衡状态。
无风险收益的贝塔系数等于0而P的贝塔系数等于1。
因为我们知道贝塔系数为0的资产的期望收益是R_F，P资产的期望收益等于\overline{R}_P，所以很容易就可得到：
\overline{R}=R_F+\beta(\overline{R}_P-R_F) \tag{12-5}
式（12-5）中，\overline{R}可以认为是这个你全市场上任何证券或组合的期望收益；\beta是该证券或组合的贝塔系数。
在单因素套利定价模型（APT）中，证券的贝塔系数度量证券收益对该因素的反应程度。
市场组合与单因素是完全相关的，这意味着市场组合确实是一个可以按比例扩大或缩小的因素。只要缩放合适，我们可以将市场组合视为一个因素。
市场组合位于证券市场线上，就像每种证券或投资组合。当市场组合是一个因素时，那么依定义，市场组合的贝塔系数等于1。如果单因素是市场组合，那么式（12-5）变成：
\overline{R}=R_F+\beta(\overline{R}_M-R_F) \\
式中，\overline{R}_M是市场组合的期望收益。这个公式表明：资产的期望收益\overline{R}与该资产的贝塔系数线性相关。这个公式与资本资产定价模型的公式完全一致。
套利定价模型可以增加因素，直至任何一种证券的非系统风险与其他证券的非系统风险都不相关。根据这个思路，我们可以容易地表明：当证券的个数不断增加时，非系统风险将逐步下降（最终消失），但是系统风险不会减少。资本资产定价模型也表明了这一结果，尽管感觉有点模糊不清，因为各个证券的非系统风险可能相互关联。
套利定价模型的优点之一是它能够处理多个因素但资本资产定价模型就忽略了它们。
套利定价模型有可能比资本资产定价模型更准确地度量期望收益。但是正如我们前面提到的，我们不能简单地确定哪些是合适的因素。
资本资产定价模型和套利定价模型都是以风险为基础的模型。二者分别通过某个或某些系统风险因素的贝塔系数来度量证券的风险，而且我们认为预期额外收益必须与贝塔系数成比例。
参数模型或实证模型（empirical models），“实证”一词指的是这些方法较少涉及金融市场如何运作的理论，而较多涉及寻找市场历史数据中的规律和关系。在这些方法中，研究人员指定一些所研究证券相关的参数和特征，然后直接检验数据中这些特征和收益的关系。
为了使用实证方法确定期望收益，我们希望估计如下公式：
\overline{R}=R_F+k_{P/E}(P/E)_i+k_{M/B}(M/B)_i+k_{size}(size)_i \\
式中，\overline{R}_i是第i个公司股票的期望收益；K_i是根据股票市场数据估算的回归系数。用公司的特征代替贝塔系数，用k_i代替因素的额外收益。
也许对实证研究的成功比价好的解释是把基于风险的方法和实证的方法综合起来。有效市场的收益和风险是相关的，因此或许与收益相关的参数或特征也是度量风险较好的指标。
股票特征除了可以作为估计期望收益的基础，还可以广泛地用于概括资金管理的风格。例如，一个市盈率远高于市场平均水平的投资组合可能被称为高市盈率或成长型股票组合（growth stock portfolio）。类似地，一个平均市盈率低于市场平均水平的投资组合可以称为低市盈率或价值型组合（value portfolio）。
为了评估投资组合管理者的业绩，我们通常将他们所管理的投资组合与一些基本指数的表现进行比较。在选择合适的基金时，注意确定所选的比价基准应该只包括该管理者作为目标的那些类型的，并且可以购买的股票。
而且越来越多的管理者比较的不是某些指数，而是同行中类似的管理者。
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罗斯《公司理财（原书第11版）》笔记 第三篇 风险第12章 看待风险与收益的另一种观点：套利定价理论12.1 简介
CAPM告诉我们如果市场是均值—方差有效的，那么衡量系统性风险最好的方法是使用贝塔系数。CAPM推导出一只股票的期望收益和贝塔系数线性相关。在消除非系统性风险上，我们强调了分散化的重要性。
12.2 系统风险和贝塔系数任何一只股票的收益都可以这样来表示：
R=\overline{R}+U \\
式中，R是实际收益；\overline{R}是期望收益；U是收益中非预期的部分。U是意想不到的部分，构成了风险。
股票的风险可以进一步分为两个部分：系统性风险和非系统性风险。因此，可以写作
R=\overline{R}+m+\varepsilon \\
式中，m是收益的系统风险；\varepsilon是非系统风险。
两个公司收益的非系统部分不相关并不意味着它们的系统部分也不相关。恰恰相反，因为两个公司都受到同一个市场风险的影响，所以单个公司的系统风险及它们的总收益是相关的。
贝塔系数（beta conefficient）告诉我们股票收益对某一系统风险的反应程度。
因素模型（factor model），其中记作F的系统风险来源称为“因素”。K个因素模型最完美的形式是一个每只股票的收益都按下面的形式产生的：
R=\overline{R}+\beta_1+F_1+\beta_2F_2+\cdots+\beta_KF_K+\varepsilon \\
式中，\varepsilon是某只股票特有的，与其他公司股票的\varepsilon不相关。到目前为止，研究人员尚不能确定一套确切的因素。
在实践中，研究人员经常使用单因素模型。他们使用股票市场指数，比如标准普尔500指数，甚至是包含更多只股票、具有更广泛基础的指数作为唯一的因素。使用单因素模型，我们可以把收益写作：
R=\overline{R}+\beta(R_{S\&P500}-\overline{R}_{S\&P500})+\varepsilon \\
式中仅仅只有一个因素（标准普尔500指数组合的收益），我们不必对贝塔系数加注下标。这种形式（略加修改）的因素模型称为市场模型（market model）：
R=\overline{R}+\beta(R_M-\overline{R}_M)+\varepsilon \\
式中，R_M是市场组合的实际收益；\beta是贝塔系数。
12.3 投资组合与因素模型我们将从N只股票中构建投资组合，而且我们将应用单因素模型确定系统风险。在N只股票中，第i只股票的收益是：
R_i=\overline{R}_i+\beta_iF+\varepsilon_i \tag{12-1}
式中，我们采用下标i表示这些变量和第i种股票相联系。注意，因素F没有任何下标，这个因素对所有的股票都适用。
\beta_i有下标是因为这种因素以其独特的方式对第i只股票产生影响。如果\beta_i是0，第i种股票的收益是：
R_i=\overline{R}_i+\varepsilon_i \\
总之，如果\beta_i等于0，第i只股票的收益不受因素F的影响；如果\beta_i是正数，因素F的正方向变动将增加第i只股票的收益，负方向变动将降低它们的收益；相反地，如果\beta_i是负数，第i只股票的收益与因素F变动的方向相反。
假设没有非系统风险，也就是说，\varepsilon=0。
设X_i是第i中证券在投资组合中的比例。因为X_i表示每只股票的价值在我们投资组合总价值中所占的比例，所以我们知道X_i之和等于100%或1，即
X_1+X_2+\cdots+X_N=1 \\
我们知道投资组合的收益是组合中每种资产的收益的加权平均。用公式来表示，可以写作：
R_P=X_1R_1+X_2R_2+\cdots+X_NR_N \tag{12-2}
将式（12-1）代入式（12-2）我们可以得出：
\begin{align} R_P=& X_1(\overline{R}_1+\beta_1F+\varepsilon_1)+X_2(\overline{R}_2+\beta_2F+\varepsilon_2)+\cdots+X_1(\overline{R}_N+\beta_NF+\varepsilon_N) \tag{12-3} \\ &(股票1的收益) \qquad \qquad(股票2的收益) \qquad\qquad \qquad(股票N的收益) \end{align}
式（12-3）告诉我们投资组合的收益取决于如下3个参数：
（1）每种证券的期望收益（\overline{R}_i）；
（2）每种证券的贝塔系数与因素F的乘积（\beta_iF）；
（3）每种证券的非系统风险（\varepsilon_i）。
我们可把式（12-3）按三个参数表示成如下形式：
期望收益的加权平均
R_P=(X_1\overline{R}_1+X_2\overline{R}_2+\cdots+X_N\overline{R}_N) \\
贝塔系数的加权平均数\times F
+(X_1\beta_1+X_2\beta_1+\cdots X_N\beta_N)\times F \\
非系统风险的加权平均数
+(X_1\varepsilon_1+X_2\varepsilon_2+\cdots+X_N\varepsilon_N) \tag{12-4}
第1行没有不确定性，因为那里只有各种证券收益的期望值。第2行的不确定性仅仅反映在F一项。第3行的不确定性表现为每种证券的非系统风险\varepsilon_i。
投资组合与多元化在大型投资组合中，式（12-4）中的第3行居然消失了。
每种证券都有它的非系统风险，某一种证券的意外与另一种证券的意外不相关。通过对每只股票的少量投资，我们可以把大型组合中的非系统风险的加权平均数降到接近0。
但第1行和第2行没有变化。因为第1行根本不存在不确定性，所以第1行不会因为组合的多元化而消失。第2行括号中的还是贝塔系数的加权平均数，当增加组合中证券的个数时它们也不会消失。因为因素F不受组合中所包含的证券个数的影响，所以2行也不会消失。
第2行和第3行都反映了投资组合的不确定性。关键在于第3行中有很多非系统风险，这些非系统风险之间相互独立。当投资组合中资产个数增加时，组合多元化效应变得越来越强，结果投资组合的风险越来越小，而收益越来越确定。但是系统风险因素F影响所有的证券，因为它在第2行的括号外。我们不能通过投资与多种证券来规避这个因素，所以组合多元化在第2行没有其作用。
12.4 贝塔系数、套利与期望收益12.4.1 线性关系如果股东忽略证券的非系统风险，那么唯有证券的系统风险与这个你全的期望收益相关。
代表4种资产的每一个点可以通过无风险资产与其他三个中的任何一个的组合来表示。
证券B的价格太高。在一个竞争市场中，它的价格将会下降，促使其期望收益回归到证券市场线上的均衡状态。
无风险收益的贝塔系数等于0而P的贝塔系数等于1。
因为我们知道贝塔系数为0的资产的期望收益是R_F，P资产的期望收益等于\overline{R}_P，所以很容易就可得到：
\overline{R}=R_F+\beta(\overline{R}_P-R_F) \tag{12-5}
式（12-5）中，\overline{R}可以认为是这个你全市场上任何证券或组合的期望收益；\beta是该证券或组合的贝塔系数。
12.4.2 市场组合与单因素在单因素套利定价模型（APT）中，证券的贝塔系数度量证券收益对该因素的反应程度。
市场组合与单因素是完全相关的，这意味着市场组合确实是一个可以按比例扩大或缩小的因素。只要缩放合适，我们可以将市场组合视为一个因素。
市场组合位于证券市场线上，就像每种证券或投资组合。当市场组合是一个因素时，那么依定义，市场组合的贝塔系数等于1。如果单因素是市场组合，那么式（12-5）变成：
\overline{R}=R_F+\beta(\overline{R}_M-R_F) \\
式中，\overline{R}_M是市场组合的期望收益。这个公式表明：资产的期望收益\overline{R}与该资产的贝塔系数线性相关。这个公式与资本资产定价模型的公式完全一致。
12.5 资本资产定价模型和套利定价模型12.5.1 教学方面的区别套利定价模型可以增加因素，直至任何一种证券的非系统风险与其他证券的非系统风险都不相关。根据这个思路，我们可以容易地表明：当证券的个数不断增加时，非系统风险将逐步下降（最终消失），但是系统风险不会减少。资本资产定价模型也表明了这一结果，尽管感觉有点模糊不清，因为各个证券的非系统风险可能相互关联。
12.5.2 应用方面的区别套利定价模型的优点之一是它能够处理多个因素但资本资产定价模型就忽略了它们。
套利定价模型有可能比资本资产定价模型更准确地度量期望收益。但是正如我们前面提到的，我们不能简单地确定哪些是合适的因素。
12.6 资产定价的实证方法12.6.1 实证模型资本资产定价模型和套利定价模型都是以风险为基础的模型。二者分别通过某个或某些系统风险因素的贝塔系数来度量证券的风险，而且我们认为预期额外收益必须与贝塔系数成比例。
参数模型或实证模型（empirical models），“实证”一词指的是这些方法较少涉及金融市场如何运作的理论，而较多涉及寻找市场历史数据中的规律和关系。在这些方法中，研究人员指定一些所研究证券相关的参数和特征，然后直接检验数据中这些特征和收益的关系。
为了使用实证方法确定期望收益，我们希望估计如下公式：
\overline{R}=R_F+k_{P/E}(P/E)_i+k_{M/B}(M/B)_i+k_{size}(size)_i \\
式中，\overline{R}_i是第i个公司股票的期望收益；K_i是根据股票市场数据估算的回归系数。用公司的特征代替贝塔系数，用k_i代替因素的额外收益。
也许对实证研究的成功比价好的解释是把基于风险的方法和实证的方法综合起来。有效市场的收益和风险是相关的，因此或许与收益相关的参数或特征也是度量风险较好的指标。
12.6.2 投资组合的风格股票特征除了可以作为估计期望收益的基础，还可以广泛地用于概括资金管理的风格。例如，一个市盈率远高于市场平均水平的投资组合可能被称为高市盈率或成长型股票组合（growth stock portfolio）。类似地，一个平均市盈率低于市场平均水平的投资组合可以称为低市盈率或价值型组合（value portfolio）。
为了评估投资组合管理者的业绩，我们通常将他们所管理的投资组合与一些基本指数的表现进行比较。在选择合适的基金时，注意确定所选的比价基准应该只包括该管理者作为目标的那些类型的，并且可以购买的股票。
而且越来越多的管理者比较的不是某些指数，而是同行中类似的管理者。