第12章 套利定价理论

在之前的第11章，我们可以看到资本资产定价模型 (CAPM) 描述的是在资产组合充分分散化的条件下，组合的期望收益率与【市场组合收益率与预期收益率的偏离】的关系，这个关系被称为贝塔系数。并且，由于贝塔系数衡量了系统性风险，因此比标准差更适合用于评估大型证券投资组合的风险。然而，CAPM 是如何排除非系统性风险的这一过程似乎并不直观。因此，套利定价理论在一定程度上是对 CAPM 理论的一个补充，并且在因子数量方面取得了进展。

某项风险资产的预期收益率可以用如下公式表示：

R = \bar{R} + U = \bar{R} + m + \varepsilon

其中， \bar{R} 指的是该项风险资产可被预期的收益， U 指的是不可被预期的收益。不可预期的收益主要分为了两部分： m 代表系统性风险带来的收益，而 \varepsilon 表示该资产独有的风险带来的收益。系统性风险可以用一些宏观经济或者行业指标来表示，例如通货膨胀指数、GNP等等。

假设系统性风险可以被三个因子表示：通胀率、GNP和利率。那么该风险资产的收益率可以用如下公式表示：

R = \bar{R} + \beta_{i}*F_{i} + \beta_{GNP}*F_{GNP}+\beta_{r}*F_{r}+\varepsilon

其中，贝塔系数代表风险资产对因子的敏感程度，F代表该因子偏离预期的程度。例如，假设人们目前预期通胀率为2%，而实际通胀率为5%，那么 F_{i} 就等于 3%。若 \beta_{i} 等于1.5，那么通货膨胀因子对风险资产的收益率的影响为 4.5%。

接下来介绍套利定价理论是如何消除非系统性风险的，为了简化，假设系统性风险因子只有一个， X 代表投资于某项风险资产的资金比例。于是可以得到 k 个风险资产形成的投资组合的期望收益率为：

R_{p} = X_{1}(\bar{R_{1}}+\beta_{1}F+\varepsilon_{1})+X_{2}(\bar{R_{2}}+\beta_{2}F+\varepsilon_{2})+...+X_{k}(\bar{R_{k}}+\beta_{k}F+\varepsilon_{k})

上式也可以表示成：

R_{p} = (X_{1}\bar{R_{1}}+X_{2}\bar{R_{2}}+...+X_{k}\bar{R_{k}})+(X_{1}\beta_{1} + X_{2}\beta_{2}+...+X_{k}\beta_{k})\times F+(X_{1}\varepsilon_{1} + X_{2}\varepsilon_{2}+X_{k}\varepsilon_{k})

不妨设 X_{n} = \frac{1}{k}, n = 1,2,...,k ，于是可以得到等式的最后一项随着 k 的不断增加而趋向于0。

于是，可以得知在因子模型下，非系统性风险能够随着风险资产的增加而被消除。而资本资产定价模型便是令上面的表达式中的因子 F 为【市场组合预期收益率的偏离】。另外，套利模型在 CAPM 基础上的另一进步便是多因子的引入，为后来的实证研究奠定了基础，例如Fama-French的三因子模型。