求函数f(x)=x²-2ax-1在区间【0,2】上的最大值和最小值

144
提问者
2023-03-15 13:16 悬赏 0财富值 阅读 1592回答 1

f(x)=x-2ax-1=x-2ax+a-(a+1)=(x-a)-(a+1)对称轴x=a,二次项系数1>0,函数图像开口向上。(1)a≤0时,区间在对称轴右侧,

默认分类
登录 后发表回答
1楼 · 2023-03-15 13:53.采纳回答

f(x)=x²-2ax-1=x²-2ax+a²-(a²+1)=(x-a)²-(a²+1)
对称轴x=a,二次项系数1>0,函数图像开口向上。
(1)
a≤0时,区间在对称轴右侧,函数单调递增。
x=2时,f(x)有最大值[f(x)]max=4-4a-1=3-4a
x=0时,f(x)有最小值[f(x)]min=0-0-1=-1
(2)
a≥2时,区间在对称轴左侧,函数单调递减。
x=0时,f(x)有最大值[f(x)]max=0-0-1=-1
x=2时,f(x)有最小值[f(x)]min=4-4a-1=3-4a

0<a<2时,对称轴在区间上。当x=a时,函数有最小值[f(x)]min=-a²-1
对于最大值,需要进一步讨论:
(3)
0<a<1时,-1<3-4a<3
x=2时,f(x)有最大值[f(x)]max=4-4a-1=3-4a
(4)
a=1时,3-4a=-1
x=0或x=2时,f(x)有最大值[f(x)]max=4-4a-1=3-4a
(5)
1<a<2时,3-4a<-1
x=0时,f(x)有最大值[f(x)]max=0-0-1=-1。

1.首先求导:f‘(x)=2x-2a
2.然后令f'(x)=0 继而求的x=a
3.当a=0;f(x)的最大值为3,最小值-1。
当a<o;f(x)在区间【0,2】上单调递增,所以最小值为f(0)=-1,最大值为f(2)=4-4a-1。
当a>0;f(x)在区间【0,2】上单调递减,所以最小值为f(2)=4-4a-1,最大值为f(0)=-1。