套利定价理论的应用

假设有三种证券,它们都服从单因素模型,因素是F。它们的期望收益率 和关于因素F 的敏感度bi 都列在表中:投资者总资产是1500 万元,三种证券的组合p
即每一种证券都投资500 万元。这一组合未必是一个最优的组合。 证券i 　　bi 1 15 % 0.9 2 21 % 3.0 3 12 % 1.8 投资者对上述组合p 作改变,记Δxi 是投资于证券si的比例的改变量,亦即改变后的组合是:
并且Δx1 , Δx2 , Δx3必须满足下列要求,亦即满足下列套利原理:
(1) Δx1 + Δx2 + Δx3 = 0 ,这表示投资者总投资额不变,既没有增加投资的总资金,也没有从原有投资总额中抽回部分资金。
(2) b1Δx1 + b2Δx2 + b3Δx3 = 0 ,这表示改变后的组合P′的因素风险不变,它与组合p 的因素风险相同。
(3) ,这表示由于这一改变会增加期望收益率,或者说改变后的组合p′的期望收益率高于原来的期望收益率 ,我们称上述组合(Δx1,Δx2,Δx3) 是套利组合,投资者能够利用这一组合进行套利。
由上面的(1) 和(2) ,需要解一个齐次方程组:
将左端含有Δx1的项移到右端：
将Δx1 看作参数,解上述非齐次方程组得:
由此我们便得到下面的结论:若取Δx1 > 0 ,那么Δx2 > 0 ,Δx3 < 0 ,这表明必须减少对证券3 的投资,增加对证券1 和证券2 的投资。再由(3) , Δx1,Δx2,Δx3还须满足:
= 9.75Δx1 > 0
很显然Δx1 必须大于0 ,这表示改变后的组合可多获得的期望收益率为9.75%Δx1,在不允许卖空证券的情形下,减少证券3 的投资,至多减少投资于证券3 的比例是0 ,这样我们又得到一个不等式:
即：
综上所述,
时增加的期望收益率最大,这时套利组合,
增加的期望收益率是:
9.75Δx1% = 1.86%
此结果表示,投资者如果改变原来的组合,
改变的量是套利组合(),
改变后的组合是,亦即改变后投资于证券1 和证券2的资金分别是:
(万元)
(万元)
投资于证券3 的资金为0 ,这样做的结果比原先的组合p 增加期望收益率1.86 % ,而因素风险不变,投资者套利成功。
在一个均衡的市场中套利现象不会发生,套利组合成为(0 ,0 ,0) ,或者套利一旦发生将会迅速消失,最后各个证券将在市场中找到自己的合适位置,在市场调节下,它的期望收益率既不会过高也不会过低,满足一个均衡状态下的方程式:
式中,rf是无风险利率,λ是因素F 的单位风险溢酬。该方程即是APT定价模型。