SVI模型参数的无套利区间

本文是No Arbitrage SVI, Claude Martini, Arianna Mingone (2021)主要内容的梳理。该论文的贡献在于利用Fukusawa的成果，给出了使SVI模型不含蝶式套利的参数区间（虽然过程很复杂且实践意义有限）。

SVI模型符号表记

Log moneyness:

k = \text{log}\frac{K}{S}

Hence

K = Se^k

本文使用log moneyness

Log-forward moneyness:

k = \text{log}\frac{K}{F}

Hence

K = Fe^k

Total implied variance:

w(k, t) = \sigma^2_{BS}(k, t)t

波动率微笑（slice）：

k \mapsto w(k, t) \ \text{for} \ \forall \ \text{time to expiry} \ t>0

SVI

给定参数集 \chi_R=\{a,b,\rho,m,\sigma\} , 对total implied variance有：

w(k;\chi_R) = a + b\left\{ \rho(k-m) + \sqrt{(k-m)^2 + \sigma^2} \right\}

其中 a,m \in \mathbb{R},b \geq 0, |\rho| < 1, \sigma > 0, a+b\sigma\sqrt{1-\rho^2} \geq 0

Fukusawa's Condition

看涨期权：

C_{BS} = S·N(d_1(k, \sqrt{w(k, t)})) - Se^kN(d_2(k, \sqrt{w(k, t)}))

看跌期权：

P_{BS} = Se^kN(-d_2(k, \sqrt{w(k, t)})) - SN(-d_1(k, \sqrt{w(k, t)}))

其中

d_1 = -\frac{k}{\sqrt{w(k,t)}} + \frac{\sqrt{w(k,t)}}{2}

d_2 = -\frac{k}{\sqrt{w(k,t)}} - \frac{\sqrt{w(k,t)}}{2}

如果

f_1 = -d_1 = \frac{k}{\sqrt{w(k,t)}} - \frac{\sqrt{w(k,t)}}{2}

f_2 = -d_2 = \frac{k}{\sqrt{w(k,t)}} + \frac{\sqrt{w(k,t)}}{2}

则 w(k,t) 波动率微笑没有蝶式套利的条件为 f'_{1,2} > 0 （此处为对 k 求导）

Normalizing SVI

SVI(k) = \alpha\sigma + b\sigma\left( \rho\frac{k-m}{\sigma} + \sqrt{\left( \frac{k-m}{\sigma} \right)^2 + 1} \right) = \sigma N\left(\frac{k-m}{\sigma}\right)

此处 \alpha = \frac{a}{\sigma}, \ N(l) = \alpha + b(\rho l + \sqrt{l^2+1}),\ l = \frac{k-m}{\sigma}, \ k = l\sigma + m

\begin{aligned} SVI'(k) &= N'(\frac{k-m}{\sigma}) \\ SVI''(k) &= \frac{1}{\sigma}N''(\frac{k-m}{\sigma}) \end{aligned}

N 是严格凸函数，在 l^* = -\frac{\rho}{\sqrt{1 - \rho^2}} 处达到最小值 N(l^*) = \alpha + b\sqrt{1-\rho^2}

\begin{aligned} N'(l) &= b(\rho + \frac{1}{\sqrt{l^2+1}}) \\ N''(l) &= b(l^2+1)^{-\frac{3}{2}} \end{aligned}

如果令 m = \mu\sigma ，则有 k = \sigma(l + \mu) ， l = \frac{k}{\sigma} - \mu

SVI_{a,b,\rho,m,\sigma}(k) = \sigma N_{a,b,\rho}\left( \frac{k}{\sigma} - \mu \right)

各个参数的初始范围如下

b\geq 0, \ |\rho| \leq 1, \ \mu \in \mathbb{R}, \ \sigma \geq 0, \ \alpha + b\sqrt{1-\rho^2} \geq 0

Durrleman's Condition与Fukusawa's Condition的关系Durrleman's Condition

g(k) = \left( 1 - \frac{kSVI'(k)}{2SVI(k)} \right)^2 - \frac{SVI'(k)^2}{4}\left( \frac{1}{SVI(k)} + \frac{1}{4} \right) + \frac{SVI''(k)}{2} \geq 0

对 \forall \ k \in \mathbb{R} 与 \lim_{k\to+\infty}d_+(k)=-\infty ，当且仅当满足Durrleman's Condition时，SVI波动率微笑无蝶式套利。

首先，依据Stefano De Marco, Claude Martini (2018)（Eq. 55 p. 25），有

\begin{aligned} g(k) &= \left( f'_1(k)f'_2(k)\sqrt{w(k)} + (\sqrt{w(k)})'' \right)\sqrt{w(k)} \\ &= f'_1(k)f'_2(k)w(k) + (\sqrt{w(k)})''\sqrt{w(k)} \end{aligned}

将正态化的SVI代入，有

g(k) = \left( 1 - \frac{kN'(\frac{k}{\sigma}-\mu)}{2\sigma N(\frac{k}{\sigma}-\mu)} \right)^2 - \frac{N'(\frac{k}{\sigma}-\mu)^2}{4}\left( \frac{1}{\sigma N(\frac{k}{\sigma}-\mu)} + \frac{1}{4} \right) + \frac{N''(\frac{k}{\sigma}-\mu)}{2\sigma}

令 G(l) = g(k) = g(\sigma(l+\mu)) ，有

\begin{aligned} G(l) &= \left( 1 - \frac{(1+\mu)N'(l)}{2N(l)} \right)^2 - \frac{N'(l)^2}{4}\left( \frac{1}{\sigma N(l)} + \frac{1}{4} \right) + \frac{N''(l)}{2\sigma} \\ & = \left[ 1 - N'(l)\left( \frac{l+\mu}{2N(l)} + \frac{1}{4} \right) \right]\left[ 1 - N'(l)\left( \frac{l+\mu}{2N(l)} - \frac{1}{4} \right) \right] + \frac{1}{2\sigma}\left( N''(l) - \frac{N'(l)^2}{2N(l)} \right) \\ &= G_1(l) + \frac{1}{2\sigma}G_2(l) \\ &= f'_1(k)f'_2(k)w(k) + (\sqrt{w(k)})''\sqrt{w(k)} \end{aligned}

其中 \begin{aligned} G_1(l) &= \left[ 1 - N'(l)\left( \frac{l+\mu}{2N(l)} + \frac{1}{4} \right) \right]\left[ 1 - N'(l)\left( \frac{l+\mu}{2N(l)} - \frac{1}{4} \right) \right] \\ G_{1+} &= 1 - N'(l)\left( \frac{l+\mu}{2N(l)} - \frac{1}{4} \right) \\ G_{1-} &= 1 - N'(l)\left( \frac{l+\mu}{2N(l)} + \frac{1}{4} \right) \\ G_2(l) &= N''(l ) - \frac{N'(l)^2}{2N(l)} \\ \end{aligned}

\begin{aligned} f'_1(k) &= f'_1(\sigma(l+\mu)) \\ &= \frac{1}{\sqrt{\sigma N(\frac{k}{\sigma} - \mu)}}\left[ 1 - N'(\frac{k}{\sigma} - \mu)\left( \frac{k}{2\sigma N(\frac{k}{\sigma} - \mu)} + \frac{1}{4} \right) \right] \\ &= \frac{G_{1+}(l)}{\sigma N(l)} \\ f'_2(k) &= f'_2(\sigma(l+\mu)) \\ &= \frac{1}{\sqrt{\sigma N(\frac{k}{\sigma} - \mu)}}\left[ 1 - N'(\frac{k}{\sigma} - \mu)\left( \frac{k}{2\sigma N(\frac{k}{\sigma} - \mu)} - \frac{1}{4} \right) \right] \\ &= \frac{G_{1-}(l)}{\sigma N(l)} \\ \end{aligned}

此时Fukusawa's Condition就从 f'_{1,2} > 0 转换为 G_{1\pm} > 0 ，即 G_1 > 0

SVI_{a,b,\rho,m,\sigma}(k) = \sigma N_{a,b,\rho}\left( \frac{k}{\sigma} - \mu \right)

注意到给定 a,b,\rho ，可以得到 \mu 的条件，基于满足条件的 \mu ，可以得到 \sigma 的简单条件

\sigma \geq \sup_l \frac{G_2(l)}{G_1(l)} = \frac{N''(l ) - \frac{N'(l)^2}{2N(l)}}{\left[ 1 - N'(l)\left( \frac{l+\mu}{2N(l)} + \frac{1}{4} \right) \right]\left[ 1 - N'(l)\left( \frac{l+\mu}{2N(l)} - \frac{1}{4} \right) \right]}

Normalized SVI参数的假设

• （A1） \alpha + b\sqrt{1-\rho^2} > 0 \ \text{and} \ |\rho|<1
  
• （A2） \alpha \geq 0 \ \text{and} \ |\rho| = 1
  
• （B1） b(1 \pm \rho) < 2
  
• （B2） b(1 + \rho) < 2 \ \text{and} \ b(1 - \rho) = 2
  
• （B3） b(1 + \rho) = 2 \ \text{and} \ b(1 - \rho) < 2
  
• （B4） b(1 + \rho) = 2 \ \text{and} \ b(1 - \rho) = 2，等价于 b=2, \ \rho=0

以下内容基于A1，A2另有讨论

参数区间与Fukusawa's Condition极限情况

\lim_{\pm\infty}G_1(l) = \left( \frac{1}{2} - \frac{b(\rho \pm 1)}{4} \right)\left( \frac{1}{2} + \frac{b(\rho \pm 1)}{4} \right)

当且仅当 b(1\pm\rho) \leq 2 时， \lim_{\pm\infty}G_1(l) \geq 0

Fukusawa's Condition与 \mu 的区间

\alpha = \frac{a}{\sigma}, \ l = \frac{k}{\sigma} - \mu, \ N(l) = \alpha + b(\rho l + \sqrt{l^2+1}) ，令

\begin{aligned} L_+ &= L_+(l; \alpha, \beta, \rho) = 2N(l)\left( \frac{1}{N'(l)} - \frac{1}{4} \right) \\ L_- &= L_-(l; \alpha, \beta, \rho) = 2N(l)\left( \frac{1}{N'(l)} + \frac{1}{4} \right) \end{aligned}

注意：后续使用时不写成 L_{\pm}(l;\alpha,b,\rho) ，一般写成 L_{\pm} ，或者只强调 b, \rho 固定时作为变量的 \alpha （denote the dependency in \alpha, (b, \rho) being fixed）

N 是严格凸函数，在 l^* = -\frac{\rho}{\sqrt{1 - \rho^2}} 处达到最小值 N(l^*) = \alpha + b\sqrt{1-\rho^2} ，L_+ \in (l^*, +\infty)L_- \in (-\infty, l^*) 。

则当且仅当 \sup_{l<l^*}L_-(l) < \inf_{l>l^*}L_+(l) ，以及

\mu \in I_{\alpha,b,\rho} := \left(\sup_{l<l^*}L_-(l), \inf_{l>l^*}L_+(l) \right)

时， G_{1\pm} > 0。

注意：在B4（ b = 2, \ \rho = 0 ）下，如果 b = 2, \ \rho = 0 ，则 \mu 的区间为空，在其他假定下 \mu 的区间均非空

L'_\pm(l) = 1 \mp \frac{N'(l)}{2} - \frac{2N(l)N''(l)}{(N'(l))^2}

B1假定下 \mu 区间的计算

\alpha + b\sqrt{1-\rho^2} > 0 \ \text{and} \ |\rho|<1 ， b(1\pm\rho)<2 时，即A1和B1假定下，令

\begin{aligned} g_{+(b,\rho)}(l) &= (\rho\sqrt{l^2+1} + l)^2 \left( \sqrt{l^2+1}\left( \frac{1}{2} - \frac{b\rho}{4} \right) - \frac{b\rho}{4} \right) - (\rho l + \sqrt{l^2+1}) \\ g_{-(b,\rho)}(l) &= (\rho\sqrt{l^2+1} + l)^2 \left( \sqrt{l^2+1}\left( \frac{1}{2} + \frac{b\rho}{4} \right) + \frac{b\rho}{4} \right) - (\rho l + \sqrt{l^2+1}) \\ \end{aligned}

g_{+(b,\rho)} \in [l^*, +\infty) ， g_{+(b,\rho)} \in [l^*, +\infty) ，当且仅当 g_{+(b,\rho)} \in [l^*, +\infty) 时， L'{\pm}(l) = 0 ； g{\pm(b,\rho)}(l^*) = -\sqrt{1-\rho^2}, \ g_{\pm(b,\rho)}(\pm\infty)=\infty ， g_{\pm(b,\rho)} 单调，或者有唯一最小值。

若 g_{\pm(b,\rho)} 单调，令 s_\pm = l^* ；否则令 s_\pm \neq l^*, \ g_{\pm(b,\rho)}(s_\pm) = -\sqrt{1-\rho^2} 。

• s_\pm \neq l^*, \ g_{\pm(b,\rho)}(s_\pm) = -\sqrt{1-\rho^2} ，此时 \alpha = bg_{-(b,\rho)}(x) ， x \to -\infty 时 L_-(x;bg_{-(b,\rho)}(x))\to-\infty ，当且仅当 g_{-(b,\rho)} 是减函数时， L_-(x;bg_{-(b,\rho)}(x)) 是增函数
  
• \forall x > s_+, \ L_+(x;bg_{+(b,\rho)}(x)) = \inf_{l>l^*}L_+(l;g_{+(b,\rho)}(l)) ，此时 \alpha = bg_{+(b,\rho)}(x) ， x \to +\infty 时 L_+(x;bg_{+(b,\rho)}(x))\to+\infty ，当且仅当 g_{+(b,\rho)} 是增函数时， L_+(x;bg_{+(b,\rho)}(x)) 是增函数
  

推论： \alpha + b\sqrt{1-\rho^2} > 0 \ \text{and} \ |\rho|<1 ， b(1\pm\rho)<2 时，即A1和B1假定下，存在唯一的 l_- < s_-, \ l_+ > s_+ ，使得 \alpha = bg_{-(b,\rho)}(l_-) = bg_{+(b,\rho)}(l_+) ，当且仅当 L_-(l_-;\alpha) < L_+(l_+;\alpha) 时， \mu 的区间 I_{\alpha,b,\rho} 不为空，区间长度随 \alpha 递增。

Fukusawa Threshold

若 \exists \ \alpha > -b\sqrt{1-\rho^2} ，则将满足 L_+(l_+;\alpha) = L_-(l_-;\alpha) 的唯一 \alpha 值记作 F(b,\rho) ；否则 F(b,\rho) = -b\sqrt{1-\rho^2} ，即当且仅当 \alpha > F(b,\rho) 时， L_+(l_+;\alpha) > L_-(l_-;\alpha)

F(b,\rho) = \inf\{\alpha|L_+(l_+;\alpha) > L_-(l_-;\alpha)\} \vee -b\sqrt{1-\rho^2}

F(b,\rho) 即为Fukusawa Threshold，在A1与B1假定下，如果 \alpha \leq F(b,\rho) ，则对所有 \mu 与 \rho ，SVI模型均不满足Fukusawa条件，即存在蝶式套利。该阈值是校准过程的核心。

Fukusawa Threshold在迭代过程中的计算流程

定义 l_+(\alpha, b, \rho) 为 l>l^*(\rho) 时 L'+(l;\alpha,b,\rho) 的唯一零点， l_-(\alpha,b,-\rho) 为 l<l^*(-\rho) 时 L'_-(l;\alpha,b,-\rho) 的唯一零点

1. 随机抽取 \rho\in(-1,1) ，为保证 b(1\pm\rho) \leq 2 （涵盖B1~B4假定），随机抽取 b'\in(0,1] ，令 b=b'\frac{2}{1+|\rho|}
   
2. 对 g_{\pm(b,\rho)}=-\sqrt{1-\rho^2} 求根，如果只有一个根，那 s_\pm=l^* ，否则 s_\pm 一个为不等于 l^* 的根，一个为 l^* ，视其大小而定。如果无根，则重新确定 b,\rho
   
3. 迭代求解找到 l_- < s_-, \ l_+ > s_+ ，使得 \alpha = bg_{-(b,\rho)}(l_-) = bg_{+(b,\rho)}(l_+) ，以及 L_-(l_-;\alpha) < L_+(l_+;\alpha) （确保 \mu 的区间不为空），不成功则重新确定 b,\rho
   
4. 判断 b,\rho 符合的假定
   

• 在B1假定下： b(1\pm\rho)<2
  代入 l_-, \ l_+ ，使用求根算法解出满足 L_+(l_+;\alpha^*) = L_-(l_-;\alpha^*) 的唯一 \alpha^* 值，若 \alpha^* > -b\sqrt{1-\rho^2} ，则 F(b,\rho) = \alpha^* ；否则 F(b,\rho) = -b\sqrt{1-\rho^2}
  
• 在B2假定下： b(1+\rho)<2 \ \text{and} \ b(1-\rho)=2
  代入 l_+ ，使用求根算法解出满足 L_+(l_+;\alpha^*)=-\frac{\alpha}{2} 的唯一值 \alpha^* ，若 \alpha^* > -b\sqrt{1-\rho^2} ，则 F(b,\rho) = \alpha^* ；否则 F(b,\rho) = -b\sqrt{1-\rho^2}
  
• 在B3假定下： b(1+\rho)=2 \ \text{and} \ b(1-\rho)<2 。代入 l_- ，使用求根算法解出满足 L_-(l_-;\alpha^*)=\frac{\alpha}{2} 的唯一 \alpha^* 值，若 \alpha^* > -b\sqrt{1-\rho^2} ，则 F(b,\rho) = \alpha^* ；否则 F(b,\rho) = -b\sqrt{1-\rho^2}
• 在B4假定下： b=2, \ \rho=0
  F(2,0) = 0
  

每进行一次迭代，需要经过2~3次迭代求解，计算较为繁琐。后续计算符合Fukusawa's Condition的参数 \sigma 时仍需使用2次迭代求解，详见原文6.2.1。

总结

该方法虽然基于大阪大学深泽正彰教授（M. Fukusawa）的成果，推出了使SVI模型满足无蝶式套利的模型参数区间，理论上比索邦大学Tahar Ferhati在SVI Model Free Wings中提出的校准方法更为严谨，但求解过程较为复杂，要求使用者对模型与校准方法有足够的熟悉度，且如果加入对相邻两个期限波动率微笑的无日历套利限制，可能无法求出参数，或者影响拟合效果。