投资学笔记（五）：CAPM模型与套利

上一篇笔记我们已经分析了分散化投资的优势，以及构建了市场投资组合。然而，市场组合的构建要求所有资产在市场中被合理定价，只有这样我们才能得到合适的资产收益率数据。

这一篇笔记开始，我们会从整体的市场入手，来分析如何利用CAPM模型给不同资产进行定价，即对风险水平不同的资产计算对应的风险溢价（risk premium）

资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model CAPM）是由马尔科维茨提出的衡量市场风险与风险溢价的单变量回归模型，广泛应用于金融经济学，资产定价，金融工程等领域。

在构造CAPM模型之前，我们先要了解该模型的假设，或者应用场景是什么：

1. 投资者都是完全理性的均值-方差投资者
2. 投资者都是价格接受者（price taker），也就是说每个投资者对市场的影响都非常小，只能被动的接受市场价格，而不能对价格施加影响。
3. 投资者具有相同的投资后期，且对每个资产的统计性质（期望，方差等）有相同的估计

上述三个假设使得投资者会通过最大化均值-方差效用函数来进行投资决策。

4. 市场中存在一种无风险资产，投资者可以以相同的利率进行自由借贷

5.所有投资者可以自由交易所有资产

上面两个假设和前三个假设结合起来，可以保证投资者都是通过最大化夏普比率选择最优风险投资组合，即选择相同的市场组合。

6. 市场没有交易摩擦，即不存在交易手续费，税费，各种投资限制等。

现在我们可以构建CAPM模型了，该模型认为资产的市场风险和其自身风险溢价呈一个线性关系：

E(r_i)=r_f+\beta_i(E(r_m)-r_f)

这里 r_m 是市场组合， r_i 是任意资产， \beta_i 是市场风险因子。

如果学过回归分析模型的话，可以看出 \beta_i 就是解释变量 E(r_m)-r_f 的回归系数，则我们有 \beta_i=\frac{COV(r_i,r_m)}{Var(r_m)}

• \beta_i=1 ，则资产和市场组合拥有同样的期望收益率。
• \beta_i=0 ，说明资产和市场组合完全没有关系，那么它就是无风险资产。
• \beta_i<1 说明资产风险低于市场风险，所以期望收益率也小于市场组合的收益率
• \beta_i>1 说明资产风险高于市场风险，所以期望收益率也高于市场组合的收益率

在现实计算的时候，我们可以使用某市场指数（比如沪深300吧）作为市场组合并计算一系列收益率 r_m ，使用十年期国债利率作为无风险收益律 r_f ，使用某资产（比如XX股票）的收益率作为 r_i ，然后对 r_i,r_m-r_f 进行回归就可以得到该资产的 \beta值。

对于投资组合 r_p=\sum_{i=1}^nw_ir_i

我们也可以计算 \beta_p=\frac{COV(\sum_{i=1}^nw_ir_i,r_m)}{Var(r_m)}=\sum_{i=1}^nw_i\beta_i

CAPM有很多推导方法，这里我会放到补充笔记中：

因为市场组合是固定的，而资产 i 的风险溢价 E(r_i)-r_f 和 \beta_i 是随资产不同而变化的，所以我们可以绘制出如下的证券市场线（Security Market Line SML）：

证券市场线和资本市场线最大的不同在于，证券市场线的横坐标是 \beta ，也就是构建资产收益率和市场风险因子 \beta 的关系。

这是因为市场组合一经选定，就固定下来了，而决定每个资产收益率的变量在于它和市场的一种相关关系 \beta

证券市场线有下面的一些含义：

• 市场组合是均值-方差有效的，即给定所有风险资产之后，市场组合的均值-方差效用被最大化了。
• 任何投资组合都可以通过证券市场线来定价，也就是确定预期收益率
• 只有资产的市场风险 \beta 可以被市场定价，其它风险不会得到风险补偿
• 如果某资产不在证券市场线上，那么该资产就被误定价了（misprice）

而证券市场线（SML）和资本市场线（CML）有如下的区别：

• 所有资产都可以被SML定价，但是只有有效组合（市场组合和无风险资产按照一定比例组合）才能被CML定价
• SML关注市场风险（横坐标为 \beta ），CML关注总风险（横坐标为标准差）
• 如果资产不在SML上，我们可以说它被misprice了，但如果某资产不在CML上，我们无法得到相似信息

对于公式 E(r_i)=r_f+\beta_i(E(r_m)-r_f) 我们构建了资产的期望收益率和市场收益率的关系，但是现实中，我们可能遇到的都是实际收益率 r_i ，这个收益率是个随机变量或者随机过程。

那么在回归分析中，我们知道实际收益率是在期望收益率上波动的，所以

r_i=r_f+\beta_i(r_m-r_f)+\epsilon_i

这里 \epsilon_i\sim i.i.d(0,\sigma^2) 就是用来衡量这种“波动”。

我们将式子两边取方差，则

\sigma^2_i=\beta_i^2\sigma_m^2+\sigma^2(e_i)

这就将总方差分解为和市场有关的方差与和自身有关的方差。

我们分别称之为系统性风险（市场风险）和非系统性风险（特异性风险）

下面我们来证明非系统性风险是可以被分散化的。

对于投资组合 r_p=\sum_{i=1}^nw_ir_i

代入公式 r_p=\sum_{i=1}^nw_ir_i=\sum_{i=1}^{n}w_i(r_f+\beta_i(r_m-r_f)+\epsilon_i)

\sigma_p^2=\beta_p^2\sigma_m^2+\sum_{i=1}^nw_i^2\sigma^2(e_i)

类似上一篇笔记用的方法，不失一般性我们取 w_i=\frac{1}{n}

则 \sigma_p^2=\beta_p^2\sigma_m^2+\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2}\sigma ^2(e_i)

设 \overline{\sigma^2(e)}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}\sigma^2(e_i)

那么 \sigma_p^2=\beta_p^2\sigma_m^2+\frac{1}{n}\overline{\sigma^2(e)}

取极限 \lim_{n \to \infty}\sigma_p^2=\beta_p^2\sigma_m^2

这就说明，如果分散化程度足够高，特异性风险会被完全分散化掉，所以市场不会对此进行风险补偿。

上面关于CAPM的讨论都是关于资产如何被合理定价的问题，这一部分我们则关注

如果资产没有被正确定价，我们该如何套利？

对于没有被正确定价的资产，设它的超额收益率为 \alpha_i ，则

\alpha_i=r_i-r_f-\beta_i(r_m-r_f)-\epsilon_i

简单来说，如果某资产的收益率高于利用CAPM模型计算出的收益率，这说明该资产有潜在的上升潜力，我们应该投资它以获得超过当前风险水平收益率的未来收益。

而套利，是指投资者以零净投资获得无风险收益的行为。

这个概念非常重要，大家要着重记住两点：净投资为0，收益无风险

那么如果某资产的超额收益率为正，那么我们该如何套利？

更进一步来说，我们现在有一系列资产 r_1,r_2,...r_n ，它们各自都有一定的 \alpha_i ，那么我们该如何构造投资组合来获得超过其风险水平的收益率？

我们首先考虑现在我们的选择中有上述 n 个资产以及市场组合，一共 n+1 个风险资产。

假设我们已经用上述 n 个资产构建了某种投资组合 r_A （后面会讲怎么构造），然后考虑它以何种比例与市场组合构造一个套利组合 r_p ，使得我们可以获得最大的超额收益。

我们称 r_A 为积极组合（Active Portfolio），市场组合为消极组合（passive portfolio）。

（1） \beta_A=1

我们再来简化一下，假设 \beta_A=1 ，也就是说积极组合和消极组合有相同的市场风险水平。

在这种情况下，给积极组合赋予权重 w_A^0，给消极组合赋予权重 1-w_A^0

r_p=w_A^0r_A+(1-w_A^0)r_m

因为 r_A 是一系列风险资产的线性组合，所以可以得到

r_A=\alpha_A+r_f+\beta_A(r_m-r_f)+e_A=\alpha_A+r_m+e_A

则 r_p=w_A^0(\alpha_A+r_m+e_A)+(1-w_A^0)r_m=w_A^0(\alpha_A+e_A)+r_m

E(r_p)=w_A^0\alpha_A+E(r_m)

\sigma_p^2=(w_A^0)^2\sigma(e_A)^2+\sigma_m^2

S_p^2=\frac{E(r_p)-r_f}{\sigma_p}

和之前笔记的想法类似，我们希望得到一个可以最大化夏普比率的投资组合，则

\begin{matrix} \frac{\partial S_p^2}{\partial w_A^0}=0 \\ \frac{\partial^2 S_p^2}{\partial (w_A^0)^2}<0 \end{matrix}

最终得到 w_A^{0*}=\frac{\frac{\alpha_A}{\sigma^2(e_A)} }{\frac{E(r_m)-r_f}{\sigma_m^2}}

这样，我们就可以通过积极组合和消极组合构建套利组合 r_p=w_A^{0*}r_A+(1-w_A^{0*})r_m

（2） \beta_A\ne 1

大部分情况下，积极组合的贝塔值是不等于1的，也就是说积极组合和消极组合的市场风险水平不一样。

这时候，我们的的构建投资组合

r^g_p=w_Ar_A^g+(1-w_A)r_m

这里g代表generalized，更一般性的模型

同时 r_A^g=r_f+\alpha_A+\beta_A(r_m-r_f)+e_A

还记得当 \beta_A=1 时， r_A=\alpha_A+r_m+e_A

代入，有 r_A^g=r_A+(\beta_A-1)(r_m-r_f)

再次代入投资组合中

r^g_p=w_Ar_A^g+(1-w_A)r_m=w_Ar_A+[(\beta_A-1)w_A+(1-w_A)]r_M-w_A(\beta_A-1)r_f

仔细观察这个式子，其中 r_A 和 r_M 的相对权重为 \frac{w_A}{(\beta_A-1)w_A+1-w_A}

而在 r_A ，也就是 \beta_A=1 的情况中， r_A 和 r_M 的相对权重为 \frac{w_A^0}{1-w_A^0}

这样，我们让 \frac{w_A}{(\beta_A-1)w_A+1-w_A} =\frac{w_A^0}{1-w_A^0}

可以解得 w_A^*=\frac{w_A^{0*}}{1+(1-\beta_A)w_A^{0*}} ,w_A^{0*}=\frac{\frac{\alpha_A}{\sigma^2(e_A)} }{\frac{E(r_m)-r_f}{\sigma_m^2}}

则投资组合 r^{g*}_p=w_A^*r_A^g+(1-w_A^*)r_m

对于这个投资组合，我们可以得到

S_{p^*}^2=S_m^2+(\frac{\alpha_A}{\sigma(e_A)})^2

这就说明了存在超额收益率（误定价）的情况下，我们新投资组合的夏普比率是大于等于市场组合的。

高出的部分 |\frac{\alpha_A}{\sigma(e_A)}| 称为信息比率（information ratio），用来衡量积极组合在给定风险情况下的一个超额收益情况。

上面我们分析道，构造积极组合与消极组合，可以让最终的投资组合的夏普比率比市场组合高出一个信息比率的平方。

那么在构造积极组合时，我们只需要选取适当的 w_i ，使得 r_A=r_A=\sum_{i=1}^{n}w_ir_i 的信息比率最大化。

同样利用微积分方法进行最优化处理：

\begin{matrix} \frac{\partial (\frac{ \alpha _A}{\sigma (e_A)})^2}{\partial w_i}=0 \end{matrix}

可以得到

w_i^*=\frac{\alpha _i(\sum_{k=1}^{n}w_k^*\alpha_k)(\sum_{k=1}^{n}w_k^{*2}\sigma ^2(e_k)) }{\sigma ^2(e_i)(\sum_{k=1}^{n}w_k^*\alpha _k)^2 }

如果对上式取 \frac{w_i^*}{w_j^*}=\frac{\frac{\alpha _i(\sum_{k=1}^{n}w_k^*\alpha_k)(\sum_{k=1}^{n}w_k^{*2}\sigma ^2(e_k)) }{\sigma ^2(e_i)(\sum_{k=1}^{n}w_k^*\alpha _k)^2 } }{\frac{\alpha _j(\sum_{k=1}^{n}w_k^*\alpha_k)(\sum_{k=1}^{n}w_k^{*2}\sigma ^2(e_k)) }{\sigma ^2(e_j)(\sum_{k=1}^{n}w_k^*\alpha _k)^2 } } =\frac{\frac{\alpha_i}{\sigma^2(e_i)} }{\frac{\alpha_j}{\sigma^2(e_j)}}

然后把分子加和，再取倒数，就有

w_j^*=\frac{\frac{\alpha_j}{\sigma^2(e_j)} }{\sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_i}{\sigma^2(e_i)}}

这是一个非常巧妙的手法，我们最终得到的权重，其实就是看每个资产的 \frac{\alpha_j}{\sigma^2(e_j)} 比率：比率越高的资产，我们就赋予更高的权重。

我们不难证明，积极组合的信息比率的平方其实是每个资产信息比率的平方和：

(\frac{\alpha _A}{\sigma (e_A)} )^2=\sum_{i=1}^{n} (\frac{\alpha _i}{\sigma (e_i)} )^2

这样我们就完成了套利组合的构造，大概思路如下：

了解了套利的相关概念，下一篇笔记我们将开始了解CAPM的一个扩展模型：套利定价模型。

参考资料：Investments 11th Edition (Alan J. Marcus, Zvi Bodie, Alex Kane) ，厦门大学投资学课程资料