APT理论---如何做套利的题

总结一点，正如我们课上说的，无风险套利机会看三点：

1、不花自己的钱，意味着权重加和为零；

2、无风险，意味着β加权为零；

3、组合的期望收益大于零

接下来我们看学员在微信群问的两道题：

（一）、假设市场指数是一个充分分散的投资组合,其期望收益率为10%,收益偏离期望的离差 (如rM-10%)可以视为系统性风险因素。国库券利率为4%。因此证券市场线表明充分分散的投 资组合E,如其β为2/3,则它的期望收益E为4%+2/3*(10%-4%)=8%。如果期望收益率为9%呢? 这将存在套利机会，如何套利？

这样的话，课本上提出的套利组合就好理解了，卖出（1/3投资于国库券，2/3的投资于市场指数）的投资组合 ，卖出的钱投资于资产组合E。

（二）、假设有两个纯因子组合1和2,期望收益率分别为E(r1)=10%和E(r2)=12%。进一步假 设无风险利率为4%。第一个纯因子组合的风险溢价为10%-4%=6%,而第二个纯因子组合的风 险溢价为12%-4%=8%。现在考虑一个充分分散的投资组合A,第一个因素的βA1=0.5,第二个 因素βA2=0.75。多因素的套利定价理论表明投资组合的总风险溢价必须等于对每一项系统性 风险来源进行补偿所要求的风险溢价之和。由于风险因素1要求相应的风险溢价为对投资组合 所产生的风险βA1乘以投资组合中第一个因素所产生的风险溢价。因此,投资组合A的风险溢价由因素1产生的风险的补偿部分为βA1[E(r1)-rf]=0.5x(10%-4%)=3%，同样风险因素2的风险溢价为βA2[E(r2)-rf]=0.75x(12%-4%)=6%。投资组合总的风险溢价应该等于3%+6%=9%，投资组合的总收益为4%+9%=13%。假设投资组合 A 的期望收益为 12% 而不是 13% 。这一收益将会产生套利机会，如何套利？

学员的疑问如下：这个组合A涉及到两个风险因子 有两个贝塔值 所以我不知道该怎么写它的贝塔

解法如下：

构造一个组合Q，组合Q在因素1上的份额为w1，在因素2上的份额为w2，在无风险资产f上的权重为Wf。

解得：

这样的套利组合，有正的1%的收益

所以，应该卖出1份A，所得投资于组合Q，Q这个组合（要求第一个纯因子组合的权重为 0.5 ，第二个纯因子组合的权重为 0. 75，无风险资产的权重为－0. 25）。