金融衍生品的套利原理：远期契约

小C带你学套利啦。

Part A：远期契约的无套利定价模型

我们说到的远期契约包括远期合约、期货和互换。我们会来讲解它们的的定价和估值。

我们会介绍一些对套利有重大影响的原则。定价和估值有所不同。定价是指在远期契约设立时决定合理的价格或利率。 而估值则是指的决定远期契约的合理价值，这通常发生在合约已设立后。

我们介绍的定价和估值的方法是建立在一个假设下的，这个假设是价格被调整到不允许套利存在。明白这个原理的最好方法是把自己想象成套利者。

套利遵照两个原则：

1.不使用自己的钱

2.不存在任何价格风险

套利者通常借入或借出金钱以满足原则1。如果是购买标的，则借入资金。如果是售出标的，则借出资金。

这些交易为特定的远期契约综合地创造同样的反向现金流（互相抵消），因此满足原则2。

如果我们现在能创造正的现金流，并遵守这两个原则，我们就有了很棒的生意。

基于无套利方法的定价和估值使当下正向现金流+无未来负债的投资组合无法被创建。这一方法是基于一价定律创建的，即两种具备相同或等价未来现金流的投资，应具备相同的当下价格。

如果一价定律被背离，投资者就能在便宜的市场购入资产，同时在贵价市场卖出，从而得到无风险、无资本投入的收益。

我们可以运用持有套利模型（carry arbitrage model）发现远期合约和标的资产价格关系反映的套利空间。

持有套利模型又被称为 cost-of-carry arbitrage models或cash-and-carry arbitrage models。通常，每种类型的远期契约都需用到不同的模型，但它们都有共通点。

F0代表远期合约签订的时刻（0时刻），S代表现货的价格，T代表某一时刻（T时刻），V代表合约的价值。

例如F0(T)=100，代表0时刻签订的远期合约，合约规定的内容是某资产在T时刻的购入/出售价格=100。Vt(T)代表远期合约在时间t的价值。

则在合约到期时(T)：

多头远期合约的市场价值 VT(T) = ST – F0(T)

空头远期合约的市场价值 VT(T) = F0(T) – ST

下图展示了远期合约在购入（0时刻）到到期时刻（T时刻）的价值变化。

如果套利者签订远期合约，这一合约的内容是在T时刻出售一项标的资产；那么，对冲这一风险的方法是在0时刻借入资金购买这一标的资产，并把这一资产持有至远期合约的到期日，现金流如下。

我们再来看一个例子。

一项标的资产（例如股票），在0时刻的价格=100元，贷款利率=5%/年，时间T = 1年, T时刻的现货价格=90或者110。

步骤1：在0时刻购入一项标的资产。

步骤2：借入和标的资产买入价同样的资金。

上图看懂了吗？我们没有使用自己的资金哦。

然后，我们再进行下面的步骤。

步骤3：签订空头远期合约（签订一个远期合约，规定在未来某个时刻出售某项资产）。在0时刻，以T为期限的远期合约的价值= V0(T)。

步骤4：借入与套利利润同等的资金以对冲风险。例如你知道这一套利行为可产生5元的利润，则借入限制为5元的资金，并在合约到期日归还。你借入的资金=远期价格-现价的未来价值（以无风险利率计算）

著：若远期合约被正确定价，则无套利空间，也就是无法做到步骤4。

上图计算较多，大家可以慢慢看，慢慢理解。

通过上图我们得知，无论标的资产在T时刻是90还是110元，按照这样的交易方法，T时刻的现金流一定是0，而0时刻的现金流却不是一定的，是V0(T)+PV[F0(T)-FV(S0)]。

V0(T)是远期合约的价值，这一价值是用来抵消套利空间的。例如我们计算得出套利空间是1元，那V0(T)就是1元，若套利空间是2元，那V0(T)就是2元。

通俗点讲：

1.某超市清仓甩卖一款鞋子，鞋子价格是100元，这个鞋子只能今天买，不能采取订货的模式。

2.银行1个月的贷款利息是0.3%。

3.某商家以101元在1个月后回收鞋子（商家现在不需要货，你买下鞋子后需要储存一个月，再卖给他，相当于商家向你订货）

你可以：

1.与商家签订订货合同

2.向银行贷入100元

3.以100元购买鞋子

4.一个月后以101元把鞋子卖给商家

5.一个月后还给银行本金100元

6.一个月后还给银行利息100.3元

通过以上操作，你在一个月后的净利润是0.7元。

要抵消套利空间，超市对鞋子现在的定价应该是101/1.03=100.698元。

当鞋子定价是100.698元时，你以100.698元购入鞋子，向银行贷款100.698元，一年后银行贷款和利息的总和是100.698x1.003=101元，你无法从中套利。

所以，套利的奥妙就在远期合约的定价上。这一原理同样适用于期货、期权和其它远期契约。

在上述远期合约的案例中，为了方便理解，我没有引入合约的价值V0(T)对套利的影响，在上述和下述案例中，你可以理解为不论是标的资产的买方还是卖方，签订远期合约的成本都是0。又或者说，签订合同时没有考虑针对合约里标的资产的定价F0(T)被高估或低估的修正。

即，Party A和Party B签订了一个远期合约，合约规定Party A在T时刻卖出资产X，Party B是T时刻买入资产X，双方在签合约时都不需要支出任何成本（合约免费签订）。若F0(T)被高估或低估，而签订合同时没有引入额外的成本V0(T)来对这一错误定价进行修正，套利空间便会存在。

我们上述设定F0(T)=105元，这是根据V0(T)=0的情况下，刚好没有套利空间设定的，或者说这是一种正确的定价。通俗地说，在这个情况下无法套利。若F0(T)不等于105元，我们需要设定额外的成本V0(T)来抵消套利空间。

Part B：套利实践

F0(T)和V0(T)应该满足什么关系才能抵消套利空间呢？

我们从套利者的角度来看看吧。

我们把上述远期合约案例中的F0(T)改为106，即合约规定在T时刻以106元出售标的资产，我们暂且把额外成本设定为0。那么，我们就可以开始套利啦！

我们签订空头远期合约，购买标的资产，借入与购买标的资产同样的资金，借入套利利润，将发生如下现金流。

我们在0时刻获得了0.9524的无风险利润。

因此，合约的价格必须被定位0.9524，否则将存在套利空间。

这一例子中，合约规定的远期价格F0(T)=106，

我们在上述案例中的操作是：

步骤1：在0时刻购入一项标的资产。

步骤2：借入和标的资产买入价同样的资金。

步骤3：签订空头远期合约。

步骤4：借入与套利利润同等的资金以对冲风险。

这个操作是基于F0(T)=106>105而进行的，如果F0(T)<105呢？例如F0(T)=104？

我们照样可以套利，只要可以反向操作就行啦！

步骤1：签订多头远期合约

步骤2：做空标的资产

步骤3：接触做空的收入

步骤4：借入套利利润

我们可以和上述案例一样获得无风险利润。

这一策略被称为反向套利。

要消除这一套利机会，签订远期合约的成本必须大于套利空间。

所以，只要F0(T)没有被正确地设置，我们就可以从中获得无风险的利润。

好啦，我们正反两向套利策略都讲完啦。

其实道理很简单，但是我把详细的过程和现金流列出来了，东西会比较多，若你把这些东东都理解了的话你就把整个原理都学会啦。

我们再来小试牛刀吧。

某股票（无分红）现在的市场价格是50元，现在的贷款利率是3%（年复利），则该股票的远期合约中规定的3个月后股票的交易价格应该是？

F0(T)=50x(1.03)^0.25=50.37元。

只要价格不是50.37，我们就可以寻找套利的机会。如果确认交易的额外成本小于V0(T)，我们就可以套利啦。

今天就学到这里啦，棒棒哒，我们下次见！