10.套利定价的理论与无风险收益多因素模型

套利：利用证券之间的错误定价来赚取无风险利润的行为称为套利(arbitrage)。它需要买入和卖出等量的证券来赚取其中的价格差。在均衡市场价格的情况下没有套利机会是资本市场理论最基本的原理。如果实际证券价格中存在套利机会，则会有一个很强的压力使得价格恢复到均衡状态。

套价定价理论(arbitrage pricing theory, APT)：如何将因素模型与无套利条件相结合从而得到期望收益和风险之间的关系的平衡方法。

1.多因素模型概述1.1.单因素模型

单因素模型（single-factor model）

资产收益不确定性来源：(1)公共或宏观经济因素；(2)公司特有因素

用公共因素来度量宏观经济中新信息的影响，并定义这些新信息的期望收益为零，因此公共因素的期望收益也为0。

用F表示公共因素偏离其期望值的离差，βi表示公司i对公共因素的敏感程度，ei为公司特有的扰动项，E(Ri)表示的是不考虑其他情况条件下的期望收益率，单因素模型可以表示为式(1.1)

F和e均为零期望值的随机变量，假定所有的e不相关，且与F也不相关。

1.2多因素模型的证券市场线

多因素模型(multifactor models)比单因素模型能够更好地解释证券收益。多因素模型仅仅是对影响证券收益的因素进行描述，并没有说明是什么决定证券的期望收益率，所以需要一个均衡证券收益的理论模型。

用一个两因素模型来描述某一段时间内股票的收益率，如式(1.2)所示。

经济周期的不确定性——GDP增长率（的风险溢价）；

利率的波动——IR（的风险溢价）；

β系数——度量股票收益对该因素的敏感程度；

ei表示公司特定因素的影响

在多因素模型中，每个因素的系数度量股票收益对该因素的敏感程度，该系数有时被称为因素敏感度(factor sensitivity)、因子载荷(factor loading)或因子贝塔(factor beta)。因素β可以为对冲策略提供一个框架。

2.套利定价理论

史蒂芬罗斯在1976年提出了套价定价理论(arbitrage pricing theory, ATP)，套利定价理论预测了风险期望收益相关的证券市场线（SML），但是其得出证券市场线的方式与CAPM不同，罗斯的套利定价理论基于三个假设：

(1)因素模型能描述证券收益

(2)市场上有足够的证券来分散风险

(3)完善的证券市场不允许套利机会存在

2.1套利、风险套利与均衡

当投资者不需要进行净投资就可以赚取无风险利润时就存在套利机会。

一价定律(Law of One Price)指出：如果两项资产在所有经济性方面均相同，那么他们应该具有相同的市场价格。一价定律被套利者们所利用，只要违背了这一定律，他们将进行套利活动——在价格低的地方买进资产，在价格高的地方出售资产，在这一过程中，他们将促使低价市场价格上扬，而高价市场价格被压低，直到套利机会消失。

无风险套利投资组合的最重要性质是：不管其风险厌恶程度和财富水平如何，投资者都愿意持有一个无限的头寸。大量的头寸使价格上涨或下跌至套利机会完全消除，证券价格最终将会稳定在不存在套利机会的价格水平上。

无套利条件：指少量投资者发现投资机会并大量动用自己的资金在短时间内使价格恢复均衡。

“套利者”通常指在专业领域如并购某目标股票中寻找没有被正确定价的行为，而不是寻找严格意义上（无风险）套利机会的人，这样的行为通常被称作风险套利(risk arbitrage)来与纯套利进行区别。

套利与风险-收益占优对于均衡价格的形成观点有着较大区别：风险-收益占优观点认为，当均衡价格被打破时，投资者将在一定程度上改变他们的投资组合（这取决于他们的风险厌恶程度），于是产生大量买卖行为，从而重建均衡价格；而套利机会存在时，每个投资者都愿意尽可能多持有一些头寸，所以不需要很多投资者就会给价格带来压力促使恢复平衡。

2.2充分分散的投资组合

一个充分分散化的投资组合，它的公司特有风险或非因素（系统）风险将可以被分散，只剩下因素（系统）风险。

充分分散的投资组合(well-diversified portfolio)：按照各自的比例分散投资于数量足够大的证券。

建一个n只股票的投资组合，那么投资组合的收益率如式(2.1)所示。

式中的βp是n个证券的β值的加权平均值，ep是n种股票的加权平均值；当投资组合变大，即n变大时，非系统性方差趋近于0。

在实践中，充分分散的投资组合收益率可以表示为式(2.4)，非系统性方差已经被分散到可忽略不计。

充分分散只要满足数量足够多就行，也即股票种类比较多，从理论上说也即只要投资集足够大，即使对于很不平衡的组合，分散化也可以消除风险。

两个充分分散化的投资组合，它们的风险完全由相同的系统性因素决定，它们之间是完全正相关关系，相关系数为1。

2.3贝塔与期望收益

由于非因素风险可以被分散掉，只有因素风险在市场均衡中存在风险溢价。在充分分散的投资组合中各公司的非系统性风险相互抵消，投资者承担这些风险但未必能获得风险溢价。相反，只有证券的投资组合的系统性风险才与其期望收益有关。

在均衡市场中，组合P的风险溢价是β和市场指数风险溢价的乘积。

在市场均衡中，β相等的充分分散的投资组合必须有相同的期望收益，否则存在套利机会；且风险溢价必须与β成正比，当β等于0时，风险溢价也等于0。

3.套利定价理论、资本资产定价模型和指数模型3.1套价定价理论

(1)提供了一种可用于资本预算、证券估值及投资业绩评价的收益率基准线；

(2)强调不可分散风险需要风险溢价来补偿，可分散风险不需要；

(3)依赖于“资本市场中的理性均衡会排除套利机会”的假设。即便是很少的投资者注意到市场的不平衡，违背套利定价理论关系将会产生巨大的压力使之恢复均衡。

(4)套利定价理论利用一个由许多证券构成的充分分散的投资组合来得出期望收益-贝塔关系。

(5)套价定价理论表示只对除一小部分之外的所有证券适用。由于它着眼于无套利条件，不需要对市场或指数模型做进一步的假设，因此套利定价理论不能排除特殊的单个资产违背期望收益-贝塔关系。

3.2资本资产定价模型

(1)建立在假设存在一个内生的不可观测的“市场”投资组合上；

(2)资本资产定价模型依赖均方差的有效性，如果有证券违背了期望收益-贝塔关系（CAMP），那么许多投资者（除相关的小部分）将会调整自己的投资组合，使他们共同对价格造成压力迫使这种关系再次被满足；

(3)资本资产定价模型对所有证券的期望收益-贝塔关系做出了明确清晰的阐述。

4.多因素套利定价理论

纯因子组合(factor portfolio)：即构建一个充分分散的投资组合，其中一个因素的β为1，另一个因素的β为0，该投资组合的收益跟踪某些特殊的宏观经济风险来源的演变，而与其他的风险来源无关。

多因素证券市场说明对组合产生影响的每个风险因子都对其最后的风险溢价有贡献，贡献量等于因子β与这一风险来源对因子组合的风险溢价的乘积。多因素的套价定价理论说明投资组合的总风险溢价必须等于对每一项系统风险来源进行补偿所要求的的风险溢价之和。

投资组合Q与投资组合P有相同的贝塔，其期望收益为

5.在哪里寻找风险因素

多因素套利定价理论的缺陷：没有指明如何找出风险因素

首先，分析对象受限于少量系统性风险因素；其次，我们希望找到最重要的风险因素。

解决方法

(1)五因素证券收益模型

IP——工业产量变化的百分比

EI——预期通货膨胀变化的百分比

UI——未预期通货膨胀变化的百分比

CG——长期公司债券相对于长期政府债券的超额收益

GB——长期政府债券相对于国库券的超额收益

(2)法玛-弗伦奇三因素模型

SMB：数量小的投资组合比数量达的投资组合多出的投资组合收益

HML：高账面-市值比股票投资组合比低账面-市值比的投资组合高出的收益

这一模型在市场指数中起着重要作用，用于衡量源于宏观经济因素的系统性风险