利率衍生品估值（2）-获取一条可用的零息利率曲线

上一篇说到，对于市场上没有公开频繁报价的交易，可以采用盯模的方式来估计其合约价值，那么对于利率衍生品来说，如果只考虑利率风险，它的估值模型至少会需要引入两类曲线：远期利率曲线，贴现率曲线。本文因为会涉及到利用交易价格推导利率，因此读者需要至少了解什么是Bootstrapper, 以及利率互换合约大致是怎么交换现金流的。

衍生品估值要义一，确定远期利率: 因为衍生品都是考虑未来发生的事情，而利率衍生品关心的，是未来的利率是多少。比如，在今天(t0)看,从未来某个起始时间点(t1)，借款或投资一定时间,并在到期日结算(t2)，那么远期利率就是t1到t2这段时间T内，用来计息的利率。远期利率之所以重要，是因为，利率衍生品讨论的都是在未来的时间区间去确定一个利率，否则就无法算出未来发生的现金流，也就没办法进行贴现估值。

之所以说远期利率曲线，是因为，有多个不同区间的远期利率，比如3个月后，3个月期利率，6个月期利率，1年期利率，因此对于未来某个时间点来说，也可以构成一条利率曲线。

衍生品估值要义，确定贴现率，既然我们已经知道了需要远期利率来计算未来现金流，那么未来现金流知道之后，就需要贴现到今天,其时间区间为T0，而贴现因子(DF)，就是从贴现率(Rd)转换而来。

那么说了那么多，我们知道了远期利率和贴现率，对于利率衍生品估值来说很重要，可是怎么去确定这两个利率到底应该是多少呢？

这时候，我们就要引入假设了，这个假设就是利率的估计值，必须要让今天参与到利率衍生品交易的投资者没有套利空间，否则，市场上的投资者就会进行套利交易，最终让利率回归到无套利的位置。

那么市场上，什么交易可以用来影响利率呢？最常见的就是银行间的拆借，债券以及利率互换了。本文先拿拆借和利率互换为例，我们可以收集市场上这两个交易的报价，来寻找一条以今天为起始点的利率曲线，并让这条曲线，可以基于无套利原则，去推导贴现率和远期利率，这条曲线就是著名的“零息利率曲线”。因此，本篇文章的重点，实际上就是找到这条零息利率曲线。

所谓零息利率曲线，简单来说就是在今天，我借3个月的资金成本是多少，借6个月的资金成本是多少，1年的资金成本是多少，依次类推。

这个曲线，在国外，之前常用的是Libor (现在快要被废了..为什么被废请看我之前关于Libor的文章)。那国内，我们可以用Shibor:

那么这时候，对于已有期限来说，至少能够确定O/N, 1W,2W..一直到1Y这八个期限的资金利率。比如银行需要100元来进行其他投资1周，需要去借本金，流动性最好的方式假设通过同业以Shibor 1W的利率进行拆借，那么年化成本就是2.052%, 那么到期后的投资收入就可以按这个成本作为机会成本，即贴现率。

因此，如果通过Shibor来确定贴现因子，就可以通过Shibor的年化利率直接推导：

如下为时间区间的公式：

如下为计算贴现因子的公式, 注意我这里DF（discount factor）推导,是基于拆借投资的现金流实际发生的，即假设拆借的规则，以act/365方式计息，到期付息来进行:

而其零息利率，就可以从贴现因子反推而来，注意我的反推，会使得Shibor年化利率和零息利率不一致，因为反推是依据连续复利方式来进行的 (貌似是ISDA规则，可能是为了让估值更保守，也可能是为了统一标准方便系统设计)。

同理，我们可以根据一样的规律，推导出基于Shibor的零息利率曲线上的各个点:

此时，如上就是已经推导得到的七个期限的零息利率，用这七个期限的零息利率，可以作为贴现率，贴现未来现金流。（我拿掉1年期，因为后面会用利率互换曲线来推导）

那么如果，我们需要更长期限的零息利率呢，比如1年，5年，10年，显然以同业拆借为交易基础的Shibor就不够用了，那么这个时候，就要引入具有更长交易期限的品种：利率互换。因为利率互换可以用于锁定资金成本，因此有它的活跃交易是利率的决定因素。

利率互换也是有曲线的，他的曲线也可以在外汇交易中心的网站上找到，比如Shibor3M的利率互换曲线:

这里我们能直接用利率互换的中间价来作为零息利率吗？当然是不能的，因为这里的利率，代表的利率互换的Swap rate，假设把利率互换看作一个固定利息债和一个浮动利息债的组合，那么Swap rate就是在互换合同生效前一天所确定的固息债的票息率。

那么以一年期Swap rate为例，我们看见2.4402%，从今天签一个Swap，其固定腿是一个票息率为2.4402%的固息债。而浮动腿是一个跟踪Shibor3M的浮动利息债券，因为是day 1，其价值应为债券面值，那么为了无套利定价，对应固定腿的固息债面值必须也为面值，假设面值为100，那么我们可以得到如下图, t为3个月的区间，P为面值，r为票息率，计息方式为act/365:

那么再看贴现率，我们现在已经有了由Shibor推导出来的零息利率3M,6M,9M，作为这三个时间点的贴现率，但是我们缺少1年期的贴现率，但是!我们发现因为无套利定价，固息债腿的面值已经知道等于浮息债腿的面值，即等于100。那么就好办了，我们通过已知量倒推贴现因子，进而倒推出贴现率，那么这个贴现率就是1年期的零息利率啦！这就是我们常说的Bootstrapping, 踩着自己的脚往上走 。

如下，我们先根据各已知条件，放好固息债贴现公式：

然后，利用Excel的Data solver, 我们设置固息债，每三个月付一次息，且贴现价值为面值100:

则可得到一年期的贴现因子，并反推出贴现率，即一年期的零息利率。

那么两年期的零息利率，也是可以用类似的方式来推导，但是，需要注意的是，因为1年到2年之间没有更多的利率点，所以贴现率我采用先对零息利率进行插值:

再倒推贴现因子:

然后，同理，放好固息债贴现公式：

再利用Excel的Data solver, 我们设置2年期固息债，每三个月付一次息，且贴现价值为面值100:

那么两年期的贴现率就可以得到了。

同理，利用3年，4年，5年等各个Swap rate，就可以不断推导更长期限的零息利率曲线。而这条零息利率曲线，就是我们做各种各种投资的贴现基础。

本文主要讲了如何从拆借，3个月期掉期互换来推导零息收益率曲线，但是其实目前隔夜互换推导零息利率曲线的需求更旺盛，并且用国债期货，利率期货也是可以推导零息利率曲线的，之后的文章，会基于各个利率衍生品来讲解如何从零息利率曲线中推导远期利率，以便推导未来现金流，并进行估值。